limes, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | Es Sei
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3n^2 -2n+5}-\wurzel{n}}{\wurzel{n^2-n+1}+4n} [/mm] (n=1,2,....)
Man berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}. [/mm] An welcher Stelle der Rechnung wird benutzt, dass die Wurzelfunktion x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] stetig ist? |
Idee:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n^2}}{\wurzel{n^2}} \bruch{\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\wurzel{5}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}{\wurzel{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+4}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{3}}{5}, [/mm] da alles andere gegen 0 konvergiert.
Jetzt versteh ich nur nicht, worauf der Hinweis mit der Stetigkeit der Wurzelfunktion hinauswill! Oder soll man den Limes hier bedingt durch die Stetigkeit in die Wurzelfunktion hereinziehen?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Grischa,
leider kann ich die Bilder nicht aufrufen.
Bitte tippe doch alles ab. Ist sowieso angenehmer für die Helfer, wenn sie sich nicht durch Links durchwühlen müssen...
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Habe ich auch gerade gesehen. Aufgabe ist aktualisiert.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] =
(Da gehört kein "=" hin.)
> [mm]\bruch{\wurzel{n^2}}{\wurzel{n^2}} \bruch{\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}}-\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}{\wurzel{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+4}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{5},[/mm] da alles andere gegen 0
> konvergiert.
>
> Jetzt versteh ich nur nicht, worauf der Hinweis mit der
> Stetigkeit der Wurzelfunktion hinauswill!
Du benutzt im letzten Schritt dreimal die Stetigkeit der Wurzelfunktion. Das siehst du, wenn du dir das Ganze genauer aufschreibst. Ich mache mal einen Teil vor:
Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}=3$ [/mm] folgt aus der Stetigkeit der Wurzelfunktion an der Stelle $x=3$, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\wurzel{3-\bruch{2}{n}+\bruch{5}{n^2}}=\wurzel3$ [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Super, der Formulierungstipp hat gefehlt. Danke.
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