limes n-te wurzel aus x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 07.02.2007 | | Autor: | svenja83 |
| Aufgabe | Zeige, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] = 1 gilt, falls x [mm] \in [/mm] R und x > 0
Tipp: Benutze die Bernoullische Ungleichung, nachdem für x = (1 + [mm] (\wurzel[n]{x} [/mm] - [mm] 1))^n [/mm] eingesetzt wurde |
Hallo,
ich habe arge Probleme mit dieser Aufgabe. Bernoullische Ungleichung sagt mir ja was, aber wie das hier verwenden.
wenn ich so anfange:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(1 + (\wurzel[n]{x} - 1))^n} [/mm] > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(1 + n * ( \wurzel[n]{x} - 1))} [/mm] = ????
wie soll ich da auf 1 kommen? hat jemand einen tipp / lösung???
Vielen lieben Dank!
Grüßle, Svenja
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Hallo svenja83,
ich denke, es könnte vielleicht so gemeint sein:
du sollst zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{x}=1 [/mm] ist
[mm] \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall [/mm] n>N: [mm] |\wurzel[n]{x}-1|<\varepsilon
[/mm]
Schreiben wir [mm] y_n:=\wurzel[n]{x}-1 \Rightarrow y_n+1=\wurzel[n]{x} \Rightarrow (1+y_n)^n=x
[/mm]
Nun mit der Bernoulli-Ungleichung: [mm] x=(1+y_n)^n\ge 1+ny_n>ny_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_n<\bruch{x}{n}
[/mm]
Sei nun [mm] \varepsilon>0 [/mm] , wähle [mm] N:=\bruch{x}{\varepsilon}, [/mm] so gilt für alle n>N:
[mm] |\wurzel[n]{x}-1|=y_n<\bruch{x}{n}<\bruch{x}{N}=\bruch{x}{\bruch{x}{\varepsilon}}=\varepsilon
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mi 07.02.2007 | | Autor: | svenja83 |
Hi du,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich kann die Schritte wunderbar nachvollziehen, aber da wäre ich nie selbst darauf gekommen - wie kommt man auf so einen Lösungsweg?
Danke auf jeden Fall vielmals!
Liebe Grüße
Svenja
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Hallo,
jo das ist halt sone Standardaufgabe, die in jedem Ana-Buch steht, zB im Königsberger.
Ist aber ein "Trick", den man sich merken sollte ;)
Gruß
schachuzipus
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