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Hallo zusammen!
Ich würde gerne den Beweis des folgenden Satzes nachvollziehen können:
Satz:
Seien [mm] $X,X_1,X_2,...$ [/mm] nichtnegative, iid. Zufallsvariablen. Dann gilt
[mm] \[\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}X_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0$, falls $\mathbb{E}[X]<\infty$ \\ $\infty$, falls $\mathbb{E}[X]=\infty. \end{cases}$\]
[/mm]
Beweis:
[mm] \[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)=sum_{n\geq1}P(\frac{X_0}{\epsilon}>n) \leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq \sum_{n\geq0}P(\frac{X_0}{\epsilon}>\epsilon) [/mm] = [mm] \sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon).\]
[/mm]
Das Lemma von Borel-Cantelli impliziert daher
[mm] \[P(\frac{X_n}{n}>\epsilon [/mm] u.o.)=0 [mm] \textrm{bzw.}=1 \textrm{für alle}\epsilon>0, \textrm{falls} E[X_0]<\infty \textrm{bzw.}=\infty.\]
[/mm]
Damit folgt die Behauptung.
So, zum einen meine Frage:
Ist es richtig, dass wir die Wahrscheinlichkeit dass [mm] $X_n/n$ [/mm] größer als irgendein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ist, deshalb in dem Beweis verwenden, weil wir das mit dem limsup "gleichsetzen" können? Also wenn die WS, dass die Folge größer als ein epsilon ist, gleich 0 ist, so ist ja klar, dass es eben nicht größer und damit gleich 0 ist.
Und zum anderen verstehe ich die Vorgehensweise bei der Abschätzung nicht. So, wie das Borel-Cantelli Lemma angewendet wird, wird die Summe der WS ja durch [mm] $E[X_0]$ [/mm] ausedrückt. Liegt das daran, dass wir die Summe der WS der [mm] $P(X_n/n>\epsilon)$ [/mm] durch diesen EW abgeschätzt haben?
Ich danke euch für eure Tipps und Antworten!
GirlyMaths
Danke für alle Tipps!
GirlyMaths
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo GirlyMaths!
> Ich würde gerne den Beweis des folgenden Satzes
> nachvollziehen können:
>
> Satz:
> Seien [mm]X,X_1,X_2,...[/mm] nichtnegative, iid. Zufallsvariablen.
> Dann gilt
> [mm]\[\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}X_n[/mm] =
> [mm]\begin{cases} 0$, falls $\mathbb{E}[X]<\infty$ \\ $\infty$, falls $\mathbb{E}[X]=\infty. \end{cases}$\][/mm]
Hier fehlt ein "P-fast-sicher" am Ende.
(Im Falle [mm] $EX<\infty$ [/mm] folgt übrigens [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}X_n=0$ [/mm] P-fast-sicher.)
> Beweis:
>
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)=sum_{n\geq1}P(\frac{X_0}{\epsilon}>n) \leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq \sum_{n\geq0}P(\frac{X_0}{\epsilon}>\epsilon)[/mm]
> = [mm]\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon).\][/mm]
Die letzte Reihe ergibt keinen Sinn: Es gibt laut Aufgabenstellung gar keine Zufallsgröße [mm] $X_0$ [/mm] und [mm] $\frac{a}{0}$ [/mm] ist für (nichtnegative) reelle Zahlen $a$ üblicherweise nicht definiert.
Hier müsste der Urheber des Beweises noch ein bisschen an seinem Beweis feilen.
> Das Lemma von Borel-Cantelli impliziert daher
> [mm]\[P(\frac{X_n}{n}>\epsilon[/mm] u.o.)=0 [mm]\textrm{bzw.}=1 \textrm{für alle}\epsilon>0, \textrm{falls} E[X_0]<\infty \textrm{bzw.}=\infty.\][/mm]
>
> Damit folgt die Behauptung.
Dieser Anschrieb ist ein Meisterbeispiel für grobes Skizzieren unter Auslassung vieler Argumente... :-(
> So, zum einen meine Frage:
> Ist es richtig, dass wir die Wahrscheinlichkeit dass [mm]X_n/n[/mm]
> größer als irgendein [mm]\epsilon>0[/mm] ist, deshalb in dem
> Beweis verwenden, weil wir das mit dem limsup
> "gleichsetzen" können? Also wenn die WS, dass die Folge
> größer als ein epsilon ist, gleich 0 ist, so ist ja klar,
> dass es eben nicht größer und damit gleich 0 ist.
Sei [mm] $Y:=\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}X_n$.
[/mm]
Gezeigt werden soll eigentlich z.B. im Falle [mm] $EX<\infty$:
[/mm]
[mm] $P(Y\not=0)=0$.
[/mm]
Tatsächlich gezeigt wird
[mm] $P(Y>\varepsilon)=0$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Warum genügt das?
Sei [mm] $A_m:=\{Y>\frac{1}{m}\}$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$.
[/mm]
Es gilt [mm] $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\ldots$.
[/mm]
Die Stetigkeit des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ von unten liefert somit
[mm] $\underbrace{\lim_{m\to\infty}\underbrace{P(A_m)}_{=0}}_{=0}=P(\underbrace{\bigcup_{m\in\IN}A_m}_{=\{Y>0\}=\{Y\not=0\}})$.
[/mm]
> Und zum anderen verstehe ich die Vorgehensweise bei der
> Abschätzung nicht. So, wie das Borel-Cantelli Lemma
> angewendet wird, wird die Summe der WS ja durch [mm]E[X_0][/mm]
> ausedrückt. Liegt das daran, dass wir die Summe der WS der
> [mm]P(X_n/n>\epsilon)[/mm] durch diesen EW abgeschätzt haben?
Für nichtnegative Zufallsgrößen Z gilt
[mm] $\sum_{n\ge1}P(Z>n)\le EZ\le \sum_{n\ge0}P(Z>n)$.
[/mm]
Hattet ihr diese Abschätzungen vielleicht irgendwann einmal?
Ansonsten kannst du die z.B. die erste Ungleichung wie folgt einsehen:
Es gilt
[mm] $Z\ge \sum_{n\ge1}1_{\{Z>n\}}$.
[/mm]
Somit
[mm] $EZ=\int Z\;dP\ge\int\sum_{n\ge1}1_{\{Z>n\}}\;dP=\ldots$
[/mm]
Nach einer Folgerung aus dem Satz von der monotonen Konvergenz können wir wie folgt weiterrechnen:
[mm] $\ldots=\sum_{n\ge1}\int 1_{\{Z>n\}}\;dP=\sum_{n\ge1}P(Z>n)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hey Tobias,
danke für deine rasche Antwort!
Zuerst kurz die Frage: Wie kann ich deine Anmerkungen direkt kommentieren, also so, wie du es auch bei mir gemacht hast?
Dann danke ich dir für deine Erklärungen, mir ist jetzt klar, wieso wir über die Wahrscheinlichkeit gehen.
Bei der Abschätzung habe ich in dem vorletzten Ausdruck aus Versehen [mm] $(\frac{X_0}{\epsilon}>\epsilon)$ [/mm] geschrieben, es muss aber $>n$ lauten. Stimmt, von [mm] $X_0$ [/mm] ist gar nicht die Rede... und mit der von dir angegeben Abschätzung könnte man doch eigentlich direkt das folgende schreiben:
[mm] \[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\]
[/mm]
für alle [mm] $\epsilon>0$, [/mm] oder irre ich mich?
Wenn wir dies als gegeben annehmen, wie wäre es dann mit dieser Vorgehensweise im Beweis?
[mm] \[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq \sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\]
[/mm]
für alle [mm] $\epsilon>0$.\\
[/mm]
Sei [mm] $A_n:=\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\}$ [/mm] und [mm] $A:=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}A_n$.\\
[/mm]
Das Borel-Cantelli Lemma besagt im ersten [mm] Fall:\\
[/mm]
[mm] \[\sum_{n\geq1}P(A_n)<\infty\Rightarrow P(A)=0.\]
[/mm]
Bei uns bedeutet das [mm] folgendes\\
[/mm]
Wenn [mm] $\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty$, [/mm] dann auch [mm] $\frac{E[X_0]}{\epsilon}<\infty$ [/mm] und [mm] $\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty$. [/mm] Daraus folgt dann, dass [mm] $P(\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n}{n}>\epsilon)=0$.
[/mm]
Würde das so gehen?
Liebe Grüße,
GirlyMaths
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Zuerst kurz die Frage: Wie kann ich deine Anmerkungen
> direkt kommentieren, also so, wie du es auch bei mir
> gemacht hast?
Unter dem Feld, in das du den Text deines Beitrages eingibst, sollte sich ein Button mit der Aufschrift "Zitieren" befinden.
> und mit der von dir angegeben Abschätzung könnte
> man doch eigentlich direkt das folgende schreiben:
>
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\][/mm]
>
> für alle [mm]\epsilon>0[/mm], oder irre ich mich?
(Hier ist wieder das Problem, dass durch 0 dividiert wird und [mm] $X_0$ [/mm] auftritt.)
Ich sehe nicht, wie diese von dir getroffenen Abschätzungen ohne Zwischenschritt klar sind.
> Wenn wir dies als gegeben annehmen, wie wäre es dann mit
> dieser Vorgehensweise im Beweis?
>
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq \sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\][/mm]
Schreiben wir besser zumindest $E[X]$ statt [mm] $E[X_0]$.
[/mm]
> für alle [mm]\epsilon>0[/mm][mm] .\\[/mm]
> Sei
> [mm]A_n:=\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\}[/mm] und
> [mm]A:=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}A_n[/mm][mm] .\\[/mm]
(Also bezeichnet $A$ das Ereignis, dass für unendlich viele n das Ereignis [mm] $A_n$ [/mm] eintritt.)
> Das
> Borel-Cantelli Lemma besagt im ersten [mm]Fall:\\[/mm]
Unter dem ersten Fall verstehe ich, dass [mm] $EX<\infty$ [/mm] gilt.
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(A_n)<\infty\Rightarrow P(A)=0.\][/mm]
Ja.
> Bei uns
> bedeutet das [mm]folgendes\\[/mm]
> Wenn [mm]\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty[/mm], dann
> auch [mm]\frac{E[X_0]}{\epsilon}<\infty[/mm] und
> [mm]\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty[/mm].
Die Bedingung [mm] $\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty$ [/mm] (was auch immer hier der 0-te Summand sein soll...) haben wir nicht direkt.
Aber im Falle [mm] $EX<\infty$ [/mm] haben wir direkt
[mm] $\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\le\frac{E[X]}{\epsilon}<\infty$.
[/mm]
> Daraus folgt
> dann, dass
> [mm]P(\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n}{n}>\epsilon)=0[/mm].
Zunächst folgt aus Borel-Cantelli
[mm] $P(\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\})=0$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\{(\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon\}\subseteq\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\}$
[/mm]
(Beachte, dass [mm] $\limsup$ [/mm] auf linker und rechter Seite unterschiedliche Bedeutungen haben!) folgt
[mm] $P((\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon)\le P(\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\})=0$
[/mm]
und somit
[mm] $P((\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon)=0$.
[/mm]
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> > Zuerst kurz die Frage: Wie kann ich deine Anmerkungen
> > direkt kommentieren, also so, wie du es auch bei mir
> > gemacht hast?
> Unter dem Feld, in das du den Text deines Beitrages
> eingibst, sollte sich ein Button mit der Aufschrift
> "Zitieren" befinden.
Gefunden, vielen Dank!
>
> > und mit der von dir angegeben Abschätzung könnte
> > man doch eigentlich direkt das folgende schreiben:
> >
> >
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\][/mm]
>
> >
> > für alle [mm]\epsilon>0[/mm], oder irre ich mich?
> (Hier ist wieder das Problem, dass durch 0 dividiert wird
> und [mm]X_0[/mm] auftritt.)
>
> Ich sehe nicht, wie diese von dir getroffenen
> Abschätzungen ohne Zwischenschritt klar sind.
Hast du einen Vorschlag, wie diese Abschätzung aussehen muss bzw. einen Tipp für mich?
>
> > Wenn wir dies als gegeben annehmen, wie wäre es dann mit
> > dieser Vorgehensweise im Beweis?
> >
> >
> [mm]\[\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\leq\frac{E[X_0]}{\epsilon} \leq \sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\][/mm]
>
> Schreiben wir besser zumindest [mm]E[X][/mm] statt [mm]E[X_0][/mm].
>
>
> > für alle [mm]\epsilon>0[/mm][mm] .\\[/mm]
> > Sei
> > [mm]A_n:=\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\}[/mm] und
> > [mm]A:=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}A_n[/mm][mm] .\\[/mm]
> (Also
> bezeichnet [mm]A[/mm] das Ereignis, dass für unendlich viele n das
> Ereignis [mm]A_n[/mm] eintritt.)
>
>
> > Das
> > Borel-Cantelli Lemma besagt im ersten [mm]Fall:\\[/mm]
> Unter dem ersten Fall verstehe ich, dass [mm]EX<\infty[/mm] gilt.
>
>
> > [mm]\[\sum_{n\geq1}P(A_n)<\infty\Rightarrow P(A)=0.\][/mm]
> Ja.
>
>
> > Bei uns
> > bedeutet das [mm]folgendes\\[/mm]
> > Wenn [mm]\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty[/mm],
> dann
> > auch [mm]\frac{E[X_0]}{\epsilon}<\infty[/mm] und
> > [mm]\sum_{n\geq1}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty[/mm].
> Die Bedingung
> [mm]\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)<\infty[/mm] (was auch
> immer hier der 0-te Summand sein soll...) haben wir nicht
> direkt.
> Aber im Falle [mm]EX<\infty[/mm] haben wir direkt
>
> [mm]\sum_{n\geq0}P(\frac{X_n}{n}>\epsilon)\le\frac{E[X]}{\epsilon}<\infty[/mm].
Allerdings muss nach dem Borel-Cantelli Lemma ja als Index der Summe [mm] $n\geq1$ [/mm] stehen, deshalb hatte ich die obige Abschätzung "verlängert".
>
>
> > Daraus folgt
> > dann, dass
> >
> [mm]P(\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n}{n}>\epsilon)=0[/mm].
> Zunächst folgt aus Borel-Cantelli
>
> [mm]P(\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\})=0[/mm].
>
> Wegen
>
> [mm]\{(\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon\}\subseteq\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\}[/mm]
>
> (Beachte, dass [mm]\limsup[/mm] auf linker und rechter Seite
> unterschiedliche Bedeutungen haben!) folgt
>
> [mm]P((\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon)\le P(\limsup_{n\to\infty}\{\frac{X_n}{n}>\epsilon\})=0[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]P((\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{n})>\epsilon)=0[/mm].
Okay, das habe ich verstanden!
Das bedeutet, dass für den Beweis "nur" noch die Abschätzung fehlt, um das Borel-Cantelli Lemma anzuwenden, sehe ich das richtig?
Lieben Dank!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 12.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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