lin. Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute.
Ich habe folgende Aufgabe als Übung bekommen.
Es sei K ein Körper und V,W,X seien K- Vektorräume. Außerdem seien
f: V [mm] \to [/mm] W und g: W [mm] \to [/mm] X lineare Abbildungen. Zeigen Sie:
a) g [mm] \circ [/mm] f: ist eine lineare Abb.
b) wenn f bijektiv ist, so ist die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] eine lineare Abb.
Die beiden Regeln für lin. Abb. kenne ich:
f(a+b) = f(a) +f(b)
cf(a) = f(ca)
und ich weiß , das g [mm] \circ [/mm] f : V [mm] \to [/mm] X
habe aber keine Ahnung, wie ich dies hier einsetzen kann.
Wäre nett wenn ihr mir ein paar tipps geben würdet.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Es sei K ein Körper und V,W,X seien K- Vektorräume.
> Außerdem seien
> f: V [mm]\to[/mm] W und g: W [mm]\to[/mm] X lineare Abbildungen. Zeigen Sie:
>
> a) g [mm]\circ[/mm] f: ist eine lineare Abb.
>
> b) wenn f bijektiv ist, so ist die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm]
> eine lineare Abb.
>
> Die beiden Regeln für lin. Abb. kenne ich:
>
> f(a+b) = f(a) +f(b)
> cf(a) = f(ca)
> und ich weiß , das g [mm]\circ[/mm] f : V [mm]\to[/mm] X
So, wenn du das weißt, ist das ja schon mal ein guter Anfang. 
Du sollst nun also zeigen, dass g [mm] \circ [/mm] f eine lineare Abbildung ist, das heißt, du musst zeigen, dass g [mm] \circ [/mm] f (a+b)=g [mm] \circ [/mm] f (a)+g [mm] \circ [/mm] f (b) und cg [mm] \circ [/mm] f (a)=g [mm] \circ [/mm] f (ca)
Es gilt aber:
g [mm] \circ [/mm] f (a+b) = g(f(a+b))=g(f(a)+f(b)) (da f linear!)
und, da g linear:
=g(f(a))+g(f(b))=g [mm] \circ [/mm] f (a)+g [mm] \circ [/mm] f (b)
Für cg [mm] \circ [/mm] f (a)=g [mm] \circ [/mm] f (ca) müsste das genauso einfach gehen. Probier's doch mal und melde dich dann.
Sorry, zu Aufgabenteil b fällt mir im Moment nichts ein...
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Danke Bastiane.
Ich glaube, ich habs verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:37 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Edi1982
> Hallo Leute.
> Ich habe folgende Aufgabe als Übung bekommen.
>
> Es sei K ein Körper und V,W,X seien K- Vektorräume.
> Außerdem seien
> f: V [mm]\to[/mm] W und g: W [mm]\to[/mm] X lineare Abbildungen. Zeigen Sie:
>
>
> a) g [mm]\circ[/mm] f: ist eine lineare Abb.
>
> b) wenn f bijektiv ist, so ist die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm]
> eine lineare Abb.
>
> Die beiden Regeln für lin. Abb. kenne ich:
>
> f(a+b) = f(a) +f(b)
> cf(a) = f(ca)
> und ich weiß , das g [mm]\circ[/mm] f : V [mm]\to[/mm] X
Für Aufgabenteil könntest du ja mal annehmen, dass [mm] $f^{-1}$ [/mm] keine lineare Abb. ist, dass also entweder [mm] $w_1,w_2\in [/mm] W$ existiert mit [mm] f^{-1}(w_1+w_2)\not=f^{-1}(w_1)+f^{-1}(w_2)$ [/mm] oder [mm] $c\in [/mm] K$ und [mm] $w\in [/mm] W$ mit [mm] c*f^{-1}(w)\not=f^{-1}(c*w)$.
[/mm]
Da f bijektiv ist, gilt auch [mm] $f(\ldots)\not=f(\ldots)$, [/mm] aber es entsteht auch ein Widerspruch, die Linearität von f ausnutzend.
Viele Grüße,
Marc
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