lin. unabh. TM zu Basis erg. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Gegeben sei eine reelle Zahl t [mm] \in \IR [/mm] und die Vektoren
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\1\\-1\\t }, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 2\\0\\1}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{2\\2\\2 \\0} [/mm] in [mm] \IR^4.
[/mm]
Bestimmen Sie eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] {v_1, v_2, v_3} [/mm] und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm] \R4. [/mm] |
Ich bin ehrlichgesagt allgemein unsicher.
Linear unabhängige Vektoren bekomme ich dann, wenn man den Nullvektor bei Addition dieser Vektoren nur dann erhält, wenn man jeden davon mit 0 multipliziert, nicht mit anderen Werten.
Soweit, so gut.
Durch Umformung mit Gauss kommt bei mir heraus, dass t = 1 sein muss, damit die Vektoren linear unabhängig sind.
Die lin. unab. Teilmenge besteht also aus den Vektoren [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_3 [/mm] mit t = 1?
Zu einer Basis im [mm] \IR^4 [/mm] ergänze ich sie, indem ich einen weiteren linear unabhängigen Vektor hinzufüge? - Und hier geht es nicht mit Halbwissen weiter bei mir, sondern gar nicht.
Theoretisch stellt eine Einheitsmatrix [mm] E_n [/mm] eine Basis (die Standardbasis?) im [mm] \IR^n [/mm] dar.
Manchmal kann man scheinbar auch einen Vektor aus der Einheitsmatrix zu bestehenden Vektoren anhängen und es bleibt linear unabhängig.
Hier scheint das nicht zu klappen.
Das Skript ist sehr sehr sehr theoretisch und hilft mir eher weniger, und Vorlesung und Tut habe ich diese Woche leider verpasst. (Tipp Mitschrieb anschauen klappt also leider nicht...)
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> Gegeben sei eine reelle Zahl t [mm]\in \IR[/mm] und die Vektoren
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\1\\-1\\t }, v_2[/mm] = [mm]\vektor{t \\ 2\\0\\1}, v_3[/mm]
> = [mm]\vektor{2\\2\\2 \\0}[/mm] in [mm]\IR^4.[/mm]
> Bestimmen Sie eine linear unabhängige Teilmenge von [mm]{v_1, v_2, v_3}[/mm]
> und ergänzen Sie diese zu einer Basis von [mm]\R4.[/mm]
> Ich bin ehrlichgesagt allgemein unsicher.
> Linear unabhängige Vektoren bekomme ich dann, wenn man
> den Nullvektor bei Addition dieser Vektoren nur dann
> erhält, wenn man jeden davon mit 0 multipliziert, nicht
> mit anderen Werten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Soweit, so gut.
> Durch Umformung mit Gauss kommt bei mir heraus, dass t = 1
> sein muss, damit die Vektoren linear unabhängig sind.
> Die lin. unab. Teilmenge besteht also aus den Vektoren [mm]v_1[/mm]
> bis [mm]v_3[/mm] mit t = 1?
Meinst du nicht vielleicht $t [mm] \neq [/mm] 1$ ?
Davon abgesehen nehme ich an du sollst eine Fallunterscheidung machen, jenachdem ob nun $t=1$ oder nicht.
Wenn du es ganz toll machen willst, dann kannst du in in deine Ergänzung auch ein paar $t$ einbauen, um das zu umgehen, aber muss nicht sein.
> Zu einer Basis im [mm]\IR^4[/mm] ergänze ich sie, indem ich einen
> weiteren linear unabhängigen Vektor hinzufüge?
genau
> - Und hier
> geht es nicht mit Halbwissen weiter bei mir, sondern gar
> nicht.
> Theoretisch stellt eine Einheitsmatrix [mm]E_n[/mm] eine Basis (die
> Standardbasis?) im [mm]\IR^n[/mm] dar.
richtig
> Manchmal kann man scheinbar auch einen Vektor aus der
> Einheitsmatrix zu bestehenden Vektoren anhängen und es
> bleibt linear unabhängig.
> Hier scheint das nicht zu klappen.
doch, müsste klappen.
Mit dem Gaußalgorithmus erfährst du sogar welche Spalte du dazupacken musst, nämlich die Spalte, bei der in der Zeilenstufenform kein Zeilenstufenanfang steht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 04.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Ok, das war blöd von mir...
Mit Gauß-Umformung komme ich auf:
[mm] \pmat{ t&1&0 \\ t-1&0&0\\0&1&2\\0&t-1&0 }
[/mm]
Für t [mm] \not= [/mm] 1 sind die Vektoren linear unabhängig.
Bei t = 1 liegt lineare Abhängigkeit vor. (durch die 2. und 4. Spalte; sobald ein Nullvektor vorkommt, sind die Vektoren linear abhängig)
Wobei ich hier noch eine Zwischenfrage habe:
Ich habe bisher die Vektoren spaltenweise in die Matrix eingebaut. Wenn ich dann eine Zeile mit Nullen habe, ist es dann wirklich ein Nullvektor? Oder nicht doch nur dann, wenn ich eine komplette Spalte mit Nullen habe?
Beim Finden einer Basis bleibt der Fall t = 1 außen vor, weil eine Basis nur aus linear unabhängigen Vektoren bestehen darf.
Bei mir fehlen in der Matrix zwei Stufen. Heißt das nun, dass ich den Vektor [mm] \vektor{0\\1\\1\\1} [/mm] anfügen muss für t [mm] \not=1?
[/mm]
Oder auch die 1n durch t´s ersetzen kann?
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moin kaschina,
Was du machst ist zwar im Kern richtig, aber etwas unvorteilhaft.
Du addierst hier zum Beispiel beim Rechnen manchmal Zeilen oder multiplizierst sie mit etwas.
Wenn du dir aber nochmal überlegst, dass deine Spalten die Vektoren sind wird dir vielleicht klar, wieso das ein Problem darstellen könnte.
Du kannst einen Vektor mit etwas multiplizieren oder du kannst zwei Vektoren addieren, du kannst aber nicht einzelne Einträge von Vektoren multiplizieren und den Rest unberührt lassen.
Für die lineare Unabhängigkeit ist dein Vorgehen vollkommen richtig, allerdings siehst du hier nicht welchen Vektor du dazu tun musst, da du eben innerhalb der Vektoren rumspielst.
Um das Problem zu vermeiden würde ich dir raten die Vektoren als Zeilen in eine Matrix zu schreiben und dann den Gaußalgorithmus (nur Zeilenoperationen, keine Spalten!) anzuwenden.
Dann wird dir in deiner endgültigen Matrix genau ein Zeilenstufenanfang fehlen (im Fall $t [mm] \neq [/mm] 1$) und dieser wird dir dann sagen welchen Vektor du dazutun musst.
Wenn deine Zeilenstufenform etwa so aussieht:
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$
[/mm]
So musst du, um eine Basis daraus zu zaubern, den Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] hinzufügen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 04.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Vielen vielen vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen!!!!
Wenn ich das Ganze als Matrix mit Zeilenvektoren statt Spaltenvektoren schreibe, komme ich erstmal auf:
[mm] \pmat{1&1&-1&t \\ t&2&0&1 \\2&2&2&0}
[/mm]
mit Umformungen erhalte ich dann:
[mm] \pmat{1&0&2&-1\\0&1&-1&t\\0&0&2/t - 2&1/t-2-t}
[/mm]
Und damit brauche ich noch den Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1\\0}
[/mm]
, wobei [mm] \vektor{0\\0\\1\\1} [/mm] aber auch gehen müsste, oder?
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Hmm, sieht schonmal gut aus.
Du hast jetzt aber in der dritten Zeile auch einen Zeilenstufenanfang, das 2/t - 2.
Allerdings musst du hier noch irgendwo t=0 ausschließen, denn sonst würdest du durch 0 teilen.
Wenn du das getan hast ist der fehlende Zeilenstufenanfang in der vierten Spalte.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 So 04.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Ich bin ein Depp :D Da waren wohl der Wald und die Bäume...
Vielen Dank nochmal für deine Mühe! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 So 04.12.2011 | | Autor: | kaschina |
Sollte keine Frage sein :)
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