lin. unabhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 02.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Finde die größtmögliche Zahl linear unabhängiger Vektoren aus
[mm] v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} v_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_5=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} v_6=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}. [/mm] |
Hallo,
ich habe das Ganze in eine Matrix geschrieben und dann in Zeilenstufenform zu bekommen, um damit die Pivot-Elemente zu erhalten um letztendliche die linear unabhängigen Spalten zu bestimmen.
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
Somit sind nur die ersten drei Vekotren linear unabhängig, also [mm] v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Maximal 3 unabhängige Vektoren.
Stimmt das?
Gruß
itse
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> Finde die größtmögliche Zahl linear unabhängiger
> Vektoren aus
>
> [mm]v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} v_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_5=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} v_6=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe das Ganze in eine Matrix geschrieben und dann in
> Zeilenstufenform zu bekommen, um damit die Pivot-Elemente
> zu erhalten um letztendliche die linear unabhängigen
> Spalten zu bestimmen.
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1
\end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
Hallo,
die Matrix hat den Rang 3, also können von den 6 Vektoren nur 3 linear unabhängig sein.
>
> Somit sind nur die ersten drei Vekotren linear unabhängig,
> also [mm]v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Richtig ist, daß die von Dir angegebene Menge eine solche maximale linear unabhängige Teilmenge der 6 Vektoren ist.
Es ist aber nicht unbedingt die einzige, sondern die, die man anhand der Pivotspalten sofort sicher aufspüren kann.
Gruß v. Angela
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