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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
eine quad. matrix muss doch nicht zwingend immer für einen endomorphismus stehen oder? kann diese nicht z.B auch als Abb von einem Vektorraum V in einen Vekotorraum W aufgefasst werden, wobei "nur" gelten muss, dass V und W die selbe Dimension haben. Dann könnte man ja eine Basis von V wählen und eine von W die beide die gleich länge haben und die darst. Matrix bzgl diese beiden basen wäre doch quadratisch und somit kein endomorphismus (also eine Abb von einem Vektorraum in sich selbst sondern in W)
liege ich da richtig?
gruß Ari ;)
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> hey leute
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> eine quad. matrix muss doch nicht zwingend immer für einen
> endomorphismus stehen oder? kann diese nicht z.B auch als
> Abb von einem Vektorraum V in einen Vekotorraum W
> aufgefasst werden, wobei "nur" gelten muss, dass V und W
> die selbe Dimension haben.
Hallo,
ja, für eine solche Abbildung kann sie stehen, und mir fällt jetzt gar nicht ein, ob es dafür einen eigenen Namen gibt.
Es ist ja allerdings so, daß, wenn die Dimensionen von V und W übereinstimmen, V und W automatisch isomorph sind, und man insofern doch so etwas wie einen Endomorphismus vorliegen hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
kann man sich eigentlich 2 isomorphe vekotorräume rein intuitiv so vorstellen, dass es das selbe "ding" ist nur in verschiedenen darstellungen? also eigentlcih sind es "nur" 2 verschiedene darstellungen für ein und das selbe oder?
danke und gruß :)
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> kann man sich eigentlich 2 isomorphe vekotorräume rein
> intuitiv so vorstellen, dass es das selbe "ding" ist nur in
> verschiedenen darstellungen? also eigentlcih sind es "nur"
> 2 verschiedene darstellungen für ein und das selbe oder?
>
> danke und gruß :)
Hallo,
irgendwann kommt der Punkt, an welchem man mit Vorstellungen vorsichtig sein sollte.
Ich weise eindringlich daraufhin, daß die Vektorräume isomorph sind, zwischen denen es einen Isomorphismus gibt.
> verschiedenen darstellungen? also eigentlcih sind es "nur"
> 2 verschiedene darstellungen für ein und das selbe oder?
Ich würde eher so sagen: zwei sehr verschiedene Dinge, die sich sehr gleich benehmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
mit fast gleich meinte ich eigentlich folgendes:
man kann zu jedem Element aus VR V ein zugehöriges Element aus W finden und wenn man zB 2 elemente [mm] v_1,v_2 [/mm] aus V addiert und dann auf W überträgt (mit dem zugehörigem isomorph., dass ich mal f nenne) dann bekommt man auch genau das element aus W, welches durch [mm] f(v_1)+f(v_2) [/mm] entsteht. also die strukur bleibt erhalten.
man könnte doch demnach, wenn man in V ist und irgendwelche operationen ausführen möchte alles in W machen und damm mit dem isomorph. das ergebnis wieder auf V übertragen.
also sozusagen ist es das selbe nur in verschiedenen darstellungen.
so meinte ich das ca? hoffe du verstehst das durcheinander hier etwas +g+
ich glaube wir meinen beide das selbe, bzw hoffe es :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 08.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du etwa den [mm] \IR^3 [/mm] nimmst und den Vektorraum P der Polynome bis zum Grad 2 gibts dazwischen nen Isomorphismus. Was du allerdings Basen "gleicher Länge" nennen willst ist mir schleierhaft, und warum man ne lineare Fkt zw. ihnen will auch. Was du tust muss doch nicht nur irgendwie machbar und definierbar sein sondern auch nen Sinn machen.
natürlich kann ich (1,0,0) auf p1=1 (0,1,0) auf p2=x und (0,0,1)auf [mm] p3=x^2 [/mm] abbilden. und die linearkomb. [mm] a+bx+cx^2 [/mm] wird dann auf (a,b,c) abgebildet.
Aber das heisst ja nur dass die Polynome einen Vektorraum bilden und die Gesetze des VR darauf anwendbar sind. Dazu hat man den Begriff des VR erfunden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich kann mich glaub ich nicht gut genug ausdrücken :(
wenn man 2 VR V und W hat und diese isomorph sind heißt das doch eigentlich im klartext, dass es eine bijektive lin.abb zwischen diesen beiden gibt.
und da es eine lin.abb gibt und diese auch noch bijektiv ist, haben die beiden VR rein intuitiv gleich viele elemente und durch die lin.abb wird auch die struktur erhalten, also ist das sozusagen die brücke zwischen den beiden Vektorräumen.
und da die struktur bzgl der lin.abb. erhalten bleibt kann man sich diese beiden dinge auf einer sehr abstrakten ebene als das selbe vorstellen und die konkrete darstellung der VR (mit den VR vernknüpfungsvorschriften usw) als eine konkretisierung auf 2 verschiedene art und weisen für das selbe abstraktum. und wenn man von einer konkretiesierung in die andere will, macht man das mit hilfe der lin.abb.
jeztt klarer? ich glaubs nicht, aber ist ein versucht wert :D
danke schonmla an euch beide..
gruß ari ;)
etwa so in der art meine ich das +g+
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> wenn man 2 VR V und W hat und diese isomorph sind heißt das
> doch eigentlich im klartext, dass es eine bijektive lin.abb
> zwischen diesen beiden gibt.
Haargenau. Es heißt nicht mehr und vor allem heißt es auch nicht weniger.
Zu Deinen intuitiven Bildern und Folgerungen mag ich wenig sagen.
(Intuitiv weiß ich, daß es weniger ungerade als ganze Zahlen gibt, trotzdem hat man mich vom Gegenteil überzeugt.)
>
> wird auch die struktur
> erhalten,
Ja, das ist der Witz bei Isomorphismen jeglicher Art.
> und da die struktur bzgl der lin.abb. erhalten bleibt kann
> man sich diese beiden dinge auf einer sehr abstrakten ebene
> als das selbe vorstellen
Sofern man "auf der richtigen Ebene" ist, ist es egal, mit welchem der Vektorräume man arbeitet.
Die "richtige Ebene" - was auch immer das sei - ist aber wesentlich!
Regelmäßig gibt es hier im Forum folgende Verwirrung:
Es soll der Raum [mm] <\vektor{1 \\ 2\\3}, \vektor{4 \\ 5\\6}> [/mm] betrachtet werden, ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^3. [/mm]
Es kommt dann ziemlich oft: das ist der [mm] \IR^2. [/mm] Das stimmt eben nicht. Zwar ist der Raum isomorph zum [mm] \IR^2, [/mm] aber es ist ein völlig anderer Raum, und wenn man sich z.B. gerade für Lagebeziehungen im [mm] \IR^3 [/mm] interessiert, ist die Isomorphie zum [mm] \IR^2 [/mm] recht unerheblich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
ehrlichgesagt verwirrt mich das jetzt auch etwas :D
warum ist das nicht der [mm] \IR^2? [/mm] weil man sich im [mm] \IR^3 [/mm] befindet nud diesen unterraum betrachtet? wenn das der grund ist, dann verstehe ich es glaub ich aber wenn ich mir nur den raum alleine angucke, ist doch [mm] \IR^2 [/mm] oder nicht?
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> ehrlichgesagt verwirrt mich das jetzt auch etwas :D
>
> warum ist das nicht der [mm][mm] \IR^2?
[/mm]
Es ist nicht der [mm] \IR^2, [/mm] weil nicht der [mm] \IR^2 [/mm] ist...
Ein schlagendes Argument: die Vektoren im genannten Unterraum haben drei Koordinaten, die des [mm] \IR^2 [/mm] nur zwei.
Der genannte Unterraum ist eine der vielen Ebenen im [mm] \IR^3, [/mm] die durch den Ursprung gehen. Sie hat mit dem [mm] \IR^2 [/mm] die Zweidimensionalität gemeinsam.
> aber wenn ich mir
> nur den raum alleine angucke, ist doch [mm]\IR^2[/mm] oder nicht?
Du meinst den besagten Unterraum? Er ist isomorph zum [mm] \IR^2, [/mm] denn beide haben die Dimension 2.
Aber ob man mit dem Unterraum arbeitet oder mit dem davon verschiedenen isomorphen Raum [mm] \IR^2, [/mm] hängt von den jeweils betrachteten Fragestellungen ab.
Will ich beispielsweise wissen, in welchem Winkel die z-Achse den Unterraum schneidet, ist das Hantieren mit [mm] \IR^2 [/mm] absolut sinnlos.
Wie gesagt: es kommt - im übertragenen Sinne! - auf die Ebene an, auf welcher man sich gerade befindet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
ach ich idiot :D:D: hab jetzt gar nicht auf die 3. koordinate geachtet :D:D:D tut mir leid für die dumme frage +g+
jetzt ist es klar :)
danke nochmal
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