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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 02.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi: [/mm] V -> W eine Abbildung zwischen [mm] \IQ-Vektorräumen. [/mm] Zeige, dass [mm] \phi [/mm] genau dann linear ist, wenn es folgende Eigenschaft besitzt:
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V : [mm] \phi [/mm] (v + w) = [mm] \phi(v) [/mm] + [mm] \phi(w)
[/mm]
Hinweis: Zeige zunächst [mm] \phi [/mm] (nv) = n [mm] \phi [/mm] (v), für alle n [mm] \in \IN [/mm] und v [mm] \in [/mm] V . |
Ich weiß nicht - wie ich hier anfangen soll. Ein kleiner ANstoß in Richtungs Lösungsweg wäre supa!
Das in der angabe sind doch eh genau die eigenschaften der Linearität.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Fr 02.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]\phi: V -> W [/mm]eine Abbildung zwischen [mm]\IQ[/mm]-Vektorräumen.
> Zeige, dass [mm]\phi[/mm] genau dann linear ist, wenn es folgende
> Eigenschaft besitzt:
> [mm]\forall v,w \in V : \phi (v + w) = \phi(v) + \phi(w)[/mm]
> Hinweis: Zeige zunächst [mm]\phi (nv) = n \phi (v)[/mm], für alle
> [mm]n \in \IN[/mm] und[mm] v \in V[/mm] .
> Ich weiß nicht - wie ich hier anfangen soll. Ein kleiner
> ANstoß in Richtungs Lösungsweg wäre supa!
> Das in der angabe sind doch eh genau die eigenschaften der
> Linearität.
Nicht ganz. [mm]\phi[/mm] ist per Definition linear, wenn
1. [mm]\phi (qv) =q \phi(v)[/mm] für [mm] $q\in \IQ$, $v\in [/mm] V$,
2. [mm]\phi (v + w) = \phi(v) + \phi(w)[/mm] für $v,w [mm] \in [/mm] V$.
Du sollst zeigen, dass [mm]\phi[/mm] genau dann linear ist, wenn Eigenschaft 2 gilt. Das heisst, du musst zeigen, dass Eigenschaft 1 aus Eigenschaft 2 folgt.
Laut Hinweis zeigst du 1 erst einmal für [mm] $q=n\in \N$ [/mm] (z.B. per Induktion nach n) und verallgemeinerst dann.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hallo!!!
Ehrlich gesagt, versteh ich es noch immer nicht ;(
[mm] \phi [/mm] (nv) = n [mm] \phi [/mm] (v)
Das ist doch eine Linearitätseigenschaft! Da kann ich nicht viel zeigen, außer wenn es linear ist- tritt die eigenschaft auf.
> $ [mm] \phi [/mm] (qv) =q [mm] \phi(v) [/mm] $ für $ [mm] q\in \IQ [/mm] $, $ [mm] v\in [/mm] V $,
Nur dass es im obigen Bsp nur für natürliche Zahlen gilt.
> Laut Hinweis zeigst du 1 erst einmal für $ [mm] q=n\in \N [/mm] $ (z.B. per Induktion >nach n) und verallgemeinerst dann.
[mm] \phi [/mm] (nv) = n [mm] \phi [/mm] (v)
Induktions-Anfang: A(1)
[mm] \phi [/mm] (1*v) = [mm] 1*\phi [/mm] (v)
[mm] \phi [/mm] (v) = [mm] \phi [/mm] (v) ->wegen Vektorraumaxiom der Funktionen (oder???)
I.Annahme: [mm] \phi [/mm] (nv) = n [mm] \phi [/mm] (v)
ZuZeigen: [mm] \phi [/mm] (nv+v) = n [mm] \phi [/mm] (v) + [mm] \phi [/mm] (v)
I.Schritt: [mm] \phi [/mm] (nv+v)
> darf ich Linearität verwenden?
[mm] \phi [/mm] (nv) + [mm] \phi [/mm] (v)
laut Annahme
n [mm] \phi [/mm] (v) + [mm] \phi [/mm] (v)
Gezeigt. Was ist nun der nächste Schritt=?
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moin sissile,
Du solltest in deiner Induktion am besten noch wirklich $(n+1)$ auftauchen lassen...
Also schreib [mm] $\phi( [/mm] (n+1)*v) = [mm] \phi(nv [/mm] + v) = [mm] \cdots$
[/mm]
Deins ist nicht falsch, aber bei einer Induktion wird immer sehr viel Wert auf die Form gelegt...
Es geht jetzt weiter indem du zeigst, dass die Aussage nicht nur für alle natürlichen Zahlen sondern auch für alle rationalen gilt.
Überleg dir dafür, welche Eigenschaft der rationalen Zahlen du verwenden könntest.
Als Tipp: in den reellen Zahlen würde der Beweis schief gehen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
Servus, danke für die ANtwort
> Deins ist nicht falsch, aber bei einer Induktion wird immer sehr viel Wert auf die Form gelegt..
okay gut, werd ich noch machen.
> Es geht jetzt weiter indem du zeigst, dass die Aussage nicht nur für alle >natürlichen Zahlen sondern auch für alle rationalen gilt.
> Überleg dir dafür, welche Eigenschaft der rationalen Zahlen du verwenden könntest.
Rationale Zahl [mm] \frac{p}{q} [/mm] wobei p,q [mm] \in \IZ
[/mm]
Rationale Zahlen sind abzählbar, reelle überabzählbar.
Hilft mir nichts oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 03.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hat noch wer eine AHnung?
> Es geht jetzt weiter indem man zeigt, dass die Aussage nicht nur für alle > natürlichen Zahlen sondern auch für alle rationalen gilt.
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> Servus, danke für die ANtwort
> > Deins ist nicht falsch, aber bei einer Induktion wird
> immer sehr viel Wert auf die Form gelegt..
> okay gut, werd ich noch machen.
>
> > Es geht jetzt weiter indem du zeigst, dass die Aussage
> nicht nur für alle >natürlichen Zahlen sondern auch für
> alle rationalen gilt.
> > Überleg dir dafür, welche Eigenschaft der rationalen
> Zahlen du verwenden könntest.
> Rationale Zahl [mm]\frac{p}{q}[/mm] wobei p,q [mm]\in \IZ[/mm]
> Rationale
> Zahlen sind abzählbar, reelle überabzählbar.
> Hilft mir nichts oder?
Der erste Teil schon...
Nehmen wir als Beispiel mal [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
Ist [mm] $\phi(0.5 [/mm] v ) = 0.5 [mm] \phi(v)$ [/mm] ?
Ja, da $0.5 + 0.5 = 1$
Nehmen wir nun mal [mm] $\frac{7}{20}$
[/mm]
Ist [mm] $\phi(\frac{7}{20} [/mm] v) = [mm] \frac{7}{20} \phi(v)$ [/mm] ?
Ja, da [mm] $\sum_{k=1}^{20} \frac{7}{20} [/mm] = 7$
Also was ich dir damit verdeutlichen möchte:
Du kannst jeden Bruch, indem du ihn oft genug mit sich selbst addierst, auf eine natürliche (oder zumindest ganze) Zahl bringen.
Das geht mit den reelen Zahlen zum Beispiel nicht.
Überlege dir mal, wie du daraus einen schönen Beweis basteln kannst.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | sissile |
Ah, ich versteh was du meinst
> Überlege dir mal, wie du daraus einen schönen Beweis basteln kannst.
;), wenn du mir einen Anstoß gibts dann gerne!
Wie soll ich den anfangen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 06.12.2011 | | Autor: | sissile |
Hat noch wer eine Idee, wie ich weitermachen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da sind doch schon lauter "Anstöße" ja sogar Tritte!
also für den Beweis heimlich für 1/2, dann für 7/10 und dann offen für p/q
gruss leduart
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