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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Do 24.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Sei [mm]L=\{ \phi: \IF_7^3 \to \IF_7^2 | \phi \mbox{ ist linear} \}[/mm].
a) Wieviele Elemente enthält L?
b) Wieviele zweidimensionale Teilräume besitzt [mm]\IF_7^3[/mm]?
c) Wieviele Abbildungen aus L sind injektiv?
d) Wieviele Abbildungen aus L sind surjektiv?
e) wieviele [mm]\phi \in L[/mm] sind surjektiv und erfüllen [mm]\phi((1,1,1))=(1,2)[/mm]? |
Hallo,
also ich verstehe nicht, wie ich da genaue Zahlen angeben soll, wenn ich kein 'genaues' [mm]\phi[/mm] gegeben habe. Also in einer Aufgabe davor hatte ich noch Vektoren gegeben und konnte dann damit eine Matrix aufstellen und dann durch Gauß an einen Ausdruck kommen, der zwei Variabeln hatte und ich dann überlegen konnte wie viele Abbildungenen es mit bestimmten Eigenschaften es gibt. Aber jetzt is das nicht da und übertragen kann ich die Aufgabe nicht :(
Könntet ihr mir vielleicht helfen mein Brett vom Kopf zu entfernen? Wäre super lieb.
LG
Elbi
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Hallo und guten Morgen,
zu (a): Es ist ja - wenn ich mal die Notation etwas strapazieren darf -
[mm] \IF_7^3=\{0,\ldots , 6\}^3,\:\: \IF_7^2=\{0,\ldots 6\}^2
[/mm]
und somit ist in (a) die Frage nach der Zahl der [mm] 3\times [/mm] 2 Matrizen über [mm] \IF_7.
[/mm]
In (b) bemerken wir, dass ein Unterraum insbesondere eine Untergruppe bzgl der Addition ist und jede solche auch schon ein
Unterraum (d.h. wenn U eine Untergruppe von [mm] (\IF_7^3,+) [/mm] ist, ist U auch bzgl. skalarer Mult. abgeschlossen - was an [mm] \IF_7 [/mm] liegt.
Sei nun U eine Untergruppe von [mm] (\IF_7^3,+). [/mm] Es seien [mm] U_1, U_2, U_3 [/mm] die Projektionen auf die Komponenten.
Dann sind die [mm] U_i [/mm] Untergruppen von [mm] (\|F_7,+). [/mm] Umgekehrt liefert jedes Tripel solcher Untergruppen eine von [mm] (\|F_7^3,+).
[/mm]
Die einzigen Untergruppen von [mm] \|F_7 [/mm] sind [mm] \|F_7 [/mm] und [mm] \{0\}. [/mm] Wir müssen also zwei von den [mm] U_i [/mm] als [mm] \IF_7 [/mm] und eines als [mm] \{0\} [/mm] wählen, und
das liefert dann schon die Antwort für (b).
(c): Kann es überhaupt injektive Abb. von einer Menge mit [mm] 7^3 [/mm] in eine Menge mit [mm] 7^2 [/mm] Elementen geben ?
(d): Durch die Urbilder einer Basis von [mm] \IF_7^2 [/mm] sollte ein solches surjektives lineares f schon bestimmt sein, zB die Urbilder von
(1,0), (0,1).
Gruss + frohes Zählen
Mathias
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