linear abhängig? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i} [/mm] + [mm] y_{i}|=\summe_{i=1}^{n} |x_{i}| [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n}|y_{i}| [/mm] |
Wenn dies gilt, wie folgert man [mm] ax_{i} +bx_{i}= [/mm] 0 (also lineare Unabhängigkeit)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du mal die Aufgabe genau zitieren. So ist das falsch.
probiers mal mit 2 Vektoren im [mm] R^2!
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | Eigentliche Aufgabe: Ist der Raum [mm] l^{1} [/mm] strikt normiert? |
Ich muss also zeigen, dass aus ||x+y||=||x||+||y|| folgt: x,y sind linear unabhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist das denn fuer ne Norm mit den Doppelstrichen?
im [mm] \IR^2
[/mm]
x=a*y d.h. x,y garantiert lin abhaengig. a>0)
|x+y|=|x+ax|=(1+a)*|x|=|x|+|y| d.h. du willst was falsches beweisen.
Eben faellt mir ein, sollen die [mm] x_i [/mm] Komponenten eines Vektors sein oder sind die [mm] x_i [/mm] Vektoren?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Naja die Doppelstriche bezeichnen die Norm in [mm] l^{1}, [/mm] also im Folgenraum, man kann die [mm] x_{i} [/mm] also als Komponenten eines Vektors auffassen.
Ich soll entweder beweisen, dass dieser Raum strikt normiert ist oder eben nicht.
Danke dir für deine Mühe und ich hoffe du weißt etwas dazu.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss nicht was [mm] l^1 [/mm] ist. steht die Aufgabe geanau so da, wie du sie jetzt zitiert hast. und schreib bitte fuer mch die Norm auf.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Di 11.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> ich weiss nicht was [mm]l^1[/mm] ist. steht die Aufgabe geanau so
> da, wie du sie jetzt zitiert hast. und schreib bitte fuer
> mch die Norm auf.
> Gruss leduart
also [mm] $l^1$ [/mm] ist hier anscheinend der Raum aller komplexwertigen (vll. auch reellwertigen?) Folgen, deren $1$-Norm endlich ist.
Genauer:
[mm] $l^1=l^1(\IC)=\{(a_k)_{k \in \IN}:\; a_k \in \IC \text{ für alle }k\,, \text{ so dass} \|(a_k)_k\|:=\sum_{k=1}^\infty |a_k| < \infty\}\,.$
[/mm]
(Analog könnte man oben überall [mm] $\IC$ [/mm] durch [mm] $\IR$ [/mm] ersetzen, falls es "nur" um rellwertige Folgen geht.)
(Genaugenommen sollte man besser sogar [mm] $\|...\|:=\|...\|_1:=...$ [/mm] schreiben.)
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Folgenraum lp.
(P.S.: Nur eine Bemerkung: Bei mir ist $0 [mm] \notin \IN\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 11.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zorba,
so, wie Du das oben formulierst, scheint es mir so, dass die Frage ist, ob der [mm] $l^1$ [/mm] ein strikt konvexer Raum ist.
Mich irritiert dabei aber gerade Deine Vorgehensweise, ich kenne diese Definition der strikten Konvexität eines normierten Raumes. Ist Dein "Prüfkriterium" dazu äquivalent? (Entschuldige, ich bin gerade zu faul, da selbst drüber nachzudenken!)
Dass [mm] $l^1$ [/mm] nicht strikt konvex ist, sieht man (mit der Wiki-Definition) z.B. so:
Betrachte [mm] $a_k:=\frac{1}{k(k+1)}\,,$ [/mm] $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Setze [mm] $b_1:=a_2$ [/mm] und [mm] $b_2:=a_1$ [/mm] sowie [mm] $b_k:=\frac{1}{k(k+1)}\,$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN \setminus\{1,2\}\,.$ [/mm]
Dann sind alle [mm] $a_k, b_k [/mm] > 0$ und damit [mm] $|a_k|=a_k$, $|b_k|=b_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Bekanntlich ist [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} (1-1/n)=1\,,$ [/mm] also gilt [mm] $\|(a_k)_k\|_1=\|(b_k)_k\|_1=1 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] (und damit [mm] $(a_k)_k, (b_k)_k \in l^1$). [/mm] Klar ist auch [mm] $\|(a_k)_k\|_1=\|(b_k)_k\|_1=1 \le 1\,$ [/mm] sowie [mm] $(a_k)_k \not= (b_k)_k\,$ [/mm] (das braucht man ja alles für das "Prüfkriterium nach Wikipedia").
Aber es ist [mm] $\|(a_k)_k+(b_k)_k\|_1=\|(a_k+b_k)_k\|_1=2 \not< 2\,.$
[/mm]
P.S.:
Mein Beispiel zeigt auch nach Deinem Kriterium, dass [mm] $l^1$ [/mm] nicht strikt konvex ist 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Di 11.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielen lieben Dank!!
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