linear abhängig = Hutprodukt ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 29.04.2005 | | Autor: | dieJule |
Sei V ein Vektorraum. Zeige:
[mm] v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{k} \in [/mm] V [mm] \gdw v_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{k} [/mm] = 0
Geht das vielleicht so:
" [mm] \Leftarrow"
[/mm]
[mm] v_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{k} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow v_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{n} [/mm] = [mm] v_{n+1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{k} [/mm]
[mm] \Rightarrow v_{1} [/mm] = - [mm] v_{2} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge -v_{n} \wedge v_{n+1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{k} [/mm]
[mm] \Rightarrow \exists a_{1}... a_{k} [/mm] mit [mm] a_{1} \nu_{1}= a_{2} \nu_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{k} \nu_{k} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] linear abhängig
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jule!
Wie habt ihr denn das "Hutprodukt" genau eingeführt? Es ist irgendeine multilineare Abbildung (bei euch vielleicht sogar die Determinante?), das ist klar, aber wie habt ihr es genau definiert?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Fr 29.04.2005 | | Autor: | dieJule |
[mm] \nu \wedge \nu' [/mm] = [mm] [\nu \otimes \nu'] [/mm] (Klasse von [mm] \nu \otimes \nu' [/mm] )
(das habe ich im Skript gefunden)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Sa 30.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Das "Hutprodukt" (oder Dachprodukt) wird normalerweise als äusseres Produkt bezeichnet.
Ich gehe einmal davon aus, dass Ihr gezeigt habt, dass es multilinear und alternierend ist.
Multilinear = linear in jeden Eintrag
Alternierend = vertauschen zweier Einträge (an verschiedenen Positionen) dreht das Vorzeichen
Hier nun die einfache RICHTUNG:
Ist nun Char(K) [mm] \not= [/mm] 2 dann folgt (hier nur die Idee für n=2)
[mm] 2(v_1 \wedge v_1) [/mm] = [mm] v_1 \wedge v_1 [/mm] - [mm] v_1 \wedge v_1 [/mm] = 0
und somit ist das äussere Produkt gleich Null, wenn zwei Einträge gleich sind.
Damit folgt mit der Multilinearität sofort, dass für linear abhängig Vektoren das äussere Produkt stets Null ist. (Einfach "Lineare Abhängigkeit" einsetzen und dann "Ausmultiplizieren". Alles sehr salopp ausgedrückt!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Sa 30.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Die Umkehrung ist vielleicht nicht so einfach (Erinnere mich nicht mehr ...)
Aber man kann ganz allgemein zeigen, dass die Menge aller alternierende Multilinearformen (von V [mm] \times [/mm] ... [mm] \times [/mm] V [n-mal] nach K) einen eindimensionalen Vektorraum bilden. Dies bedeutet, dass eine solche Linearform durch die Angabe auf einer Basis eindeutig bestimmt ist.
(Würde nun
[mm] v_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_n [/mm] = 0
für linear unabhängige Vektoren gelten,
so wäre das äussere Produkt die Nullform.
Dies kannst Du bestimmt durch Vorlesungsstoff widerlegen!)
Oder umgekehrt:
Vielleicht habt Ihr z.B. für [mm] R^n [/mm] folgendes gezeigt
[mm] e_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge e_n [/mm] = 1.
Dann folgt für linear unabhängige Vektoren [mm] v_1, [/mm] ... , [mm] v_n:
[/mm]
[mm] v_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_n \not= [/mm] 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 30.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Etwas genauer:
[mm] 2(v_1\wedge v_1) [/mm] = [mm] v_1\wedge v_1 [/mm] + [mm] v_1\wedge v_1 [/mm]
nun vertauschen
= [mm] v_1\wedge v_1 [/mm] - [mm] v_1\wedge v_1 [/mm] = 0
(Dies gilt auch für Char(K) =2)
Nur kann man diese Gleichung nur dann durch 2 teilen, wenn Char(K) [mm] \not= [/mm] 2 und dann folgt:
[mm] v_1\wedge v_1=0
[/mm]
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