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| Aufgabe | Sind die folgenden drei Vektoren linear unabhängig?
[mm] \vec{a} = \vektor{0 \\ 2 \\ 3} [/mm] [mm] \vec{b} = \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] [mm] \vec{c} = \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
hallo,
ist der ansatz so weit richtig?
[mm] \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \not= \vec{0}[/mm]
[mm] \vec{a} + \vec{b} \not= \vec{c}[/mm]
dann sind die vektoren doch linear unabhängig
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Hallo Tim,
> Sind die folgenden drei Vektoren linear unabhängig?
> [mm]\vec{a} = \vektor{0 \\ 2 \\ 3}[/mm] [mm]\vec{b} = \vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{c} = \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> hallo,
> ist der ansatz so weit richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \not= \vec{0}[/mm]
>
> [mm]\vec{a} + \vec{b} \not= \vec{c}[/mm]
>
> dann sind die vektoren doch linear unabhängig
>
nein, schau dir unbedingt nochmal die Definition von "Lineare (Un-)Abhängigkeit" an !
Der Ansatz ist, den Nullvektor [mm] $\vec{0}$ [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] darzustellen.
Also [mm] $x\cdot{}\vec{a}+y\cdot{}\vec{b}+z\cdot{}\vec{c}=\vec{0}$
[/mm]
oder ausgeschrieben [mm] $x\cdot{}\vektor{0\\2\\3}+y\cdot{}\vektor{1\\-2\\0}+z\cdot{}\vektor{0\\1\\1}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Hieraus erhälst du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten $x,y,z$
Wenn das nur die triviale Lösung $x=y=z=0$ hat, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Gibt es eine nicht-triviale Lösung, also eine, wo (mind.) eines der [mm] $x,y,z\neq [/mm] 0$ ist, so sind die Vektoren linear abhängig
Prüfe das mal nach ... 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Fr 28.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hi Tim,
hast du schon mal was von Determinaten gehört, weil dann gibt es noch eine andere Möglichkeit,die ich dir dann zeigen würde.
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Fr 28.12.2007 | | Autor: | tim_tempel |
hallo crashby,
bin beim lesen schon mal über derterminate geflogen, kann damit aber noch nichts anfangen. bin gespannt, was da auf mich zukommt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Fr 28.12.2007 | | Autor: | BeniMuller |
Lieber Tim Tempel
Diese "Frage" scheint eher eine "Mitteilung" zu sein, die ich hiermit beantworte.
Gruss aus Zürich
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hallo,
hoffe es ist so richtig?
0 + 1y + 0 = 0
2x + (-2y) + 1z = 0
3x + 0 + 1z = 0
dann kann ich die zeilen nochmal vertauschen:
2x + (-2y) + 1z =0 //diese Zeile * -1,5
0 + 1y + 0 = 0
3x + 0 + 1z = 0 //und diese Zeile zur ersten addieren
also:
-3x + (-3y) + -2,5z =0
1y + 0 = 0
1z = 0
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Hallo Tim,
hmm...
> hallo,
> hoffe es ist so richtig?
>
> 0 + 1y + 0 = 0
> 2x + (-2y) + 1z = 0
> 3x + 0 + 1z = 0
>
> dann kann ich die zeilen nochmal vertauschen:
>
> 2x + (-2y) + 1z =0 //diese Zeile * -1,5
> 0 + 1y + 0 = 0
> 3x + 0 + 1z = 0 //und diese Zeile zur ersten
> addieren
Bis hierher stimmt's, auch wenn es nicht sonderlich effizient ist
> also:
>
> -3x + (-3y) + -2,5z =0
> 1y + 0 = 0
> 1z = 0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das scheint mir nicht zu stimmen, wie kommst du auf das [mm] $1\cdot{}z$ [/mm] in der 3.Gleichung und auf die [mm] $-2,5\cdot{}z$ [/mm] in der ersten? M.E steht da nach deiner Rechnung im zweiten Schritt:
[mm] $\vmat{-3x&+&3y&+&-1,5z&=&0\\&&y&&&=&0\\3x&&&+&z&=&0}$
[/mm]
Wenn du nun die 3. Zeile zur 1. Zeile addierst, ergibt das doch
[mm] $\vmat{&&3y&+&-0,5z&=&0\\&&y&&&=&0\\3x&&&+&z&=&0}$ [/mm]
Hier kannst du weitermachen, oder vieeel einfacher:
Aus der 2.Gleichung hast du doch direkt $y=0$ Das kannst du erstmal in die anderen beiden Gleichungen einsetzen, dann wirds um Längen einfacher...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Fr 28.12.2007 | | Autor: | tim_tempel |
richtig, weiss nicht was ich da gemacht habe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Fr 28.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey deine Vektoren kann man als Determinante aufschreiben:
[mm]det(A)= \vmat{ 0 & 1 & 0\\ 2 & -2 & 1\\3 & 0 & 1}[/mm]
Wenn die Determinante ungleich 0 ist, nennt man die Matrix "regulär", d.h. unter anderem, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Die Determinante kannst du mit der Sarrusschen Regel berechnen.
Ist mitunter leichter als ein LGS aufzustellen.
probier es mal aus :)
lg George
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