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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Sa 11.10.2008 | | Autor: | blumee |
Guten Abend,
Zeigen Sie:
Wenn die Vektoren a1, a2, a3 linear unabhängig sind, dann sind auch die Vektoren b1, b2, b3 mit b1 = a1-a2, b2=2a2+3a3, b3=a1 - 4a2-2a3
linear unabhängig (natürlich über a und b immer so ein pfeilchen).
Reicht es wenn ichd as so zeige?:
lamda1 * a1 + lamda2 * a2 + lamda3 * a3 = 0
alle lampda = 0
wenn ich nun diese gleichung nehme:
lamda1 * b1 + lamda2 * b2 + lamda3 * b3 = 0
und für alle b einsetze und dann umsortiere habe ich ja immer eine klammer mit (lampda+/-lampda) * einen Vektor.
Da die Klammer immer 0 ist, weil ich ja oben gesgat habe lamda = 0 habe ich eine lineare Unabhängigkeit. Kann man das so zeigen oder liegt hier ein Denkfehler vor?
thx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo blumee,
das Ding heißt lambda, du kannst es so eintippen: \lambda , also mit vorangehendem backslash, das ergibt das schön leserliche [mm] $\lambda$.
[/mm]
Tiefstehende Indizes bekommst du mit dem Unterstrich hin _
So ergibt \lambda_1 dies: [mm] $\lambda_1$
[/mm]
> Guten Abend,
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> Zeigen Sie:
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> Wenn die Vektoren a1, a2, a3 linear unabhängig sind, dann
> sind auch die Vektoren b1, b2, b3 mit b1 = a1-a2,
> b2=2a2+3a3, b3=a1 - 4a2-2a3
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> linear unabhängig (natürlich über a und b immer so ein
> pfeilchen).
Die bekommst du mit \vec{b} hin, ich schreibe sie aber im folgenden auch ohne Pfeile
>
> Reicht es wenn ichd as so zeige?:
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> lamda1 * a1 + lamda2 * a2 + lamda3 * a3 = 0
>
> alle lampda = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja, das ist deine Voraussetzung, nämlich dass die [mm] $a_i$ [/mm] linear unabhängig sind
>
> wenn ich nun diese gleichung nehme:
>
> lamda1 * b1 + lamda2 * b2 + lamda3 * b3 = 0
Hier solltest du andere Skalare nehmen, nimm [mm] $\mu_1, \mu_2, \mu_3$
[/mm]
>
> und für alle b einsetze und dann umsortiere habe ich ja
> immer eine klammer mit (lampda+/-lampda) * einen Vektor.
>
> Da die Klammer immer 0 ist, weil ich ja oben gesgat habe
> lamda = 0 soweit richtig!
> habe ich eine lineare Unabhängigkeit. Kann man
> das so zeigen oder liegt hier ein Denkfehler vor?
Du hast damit noch keine lineare Unabhängigkeit, du hast leider dieselben Skalare für die [mm] $b_i$ [/mm] genommen wie für die [mm] $a_i$
[/mm]
Nimm mal die [mm] $\mu_i$, [/mm] dann bekommst du ein LGS in diesen Koeffizienten in den Klammern, von denen du weißt, dass sie 0 sein müssen
Ach das ist doof zu erklären, ich mache mal konkret den Anfang 
Seien also die [mm] $a_i$ [/mm] linear unabhängig, dh. [mm] $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\lambda_3 a_3=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$
[/mm]
Nun willst du zeigen, dass die [mm] $b_i$ [/mm] auch linear unabh. sind, du setzt also die übliche LK des Nullvektors an
[mm] $\mu_1 b_1+\mu_2 b_2+\mu_3 b_3=0$
[/mm]
Zu zeigen ist, dass hier [mm] $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ [/mm] sein muss, also setzen wir für die [mm] $b_i$ [/mm] ein:
[mm] $\Rightarrow \mu_1(a_1-a_2)+\mu_2(2a_2+3a_3)+\mu_3(a_1-4a_2-2a_3)=0$
[/mm]
Nun deine Idee mit dem Umsortieren nach den [mm] $a_i$, [/mm] von den wir ja wissen, dass sie lin. unabh. sind:
[mm] $\Rightarrow (\mu_1+\mu_3)a_1+(-\mu_1+2\mu_2-4\mu_3)+(3\mu_2-2\mu_3)a_3=0$
[/mm]
Wegen der linearen Unabh. der [mm] $a_i$ [/mm] muss jede der Klammern =0 sein.
Das gibt dir nun ein Gleichungssystem in den [mm] $\mu_i$, [/mm] das es zu lösen gilt.
Am Besten sollte [mm] $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ [/mm] rauskommen - rechne das also mal nach ...
Du hattest also schon eigentlich die richtige Idee, bist nur durch die falsche Wahl der Skalare "vom Weg abgekommen"
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> thx
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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LG
schachuzipus
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