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| Aufgabe | Betrachten Sie den Vektorraum [mm]Map (\IR, \IR) [/mm] und die Funktionen
[mm] f(x) = e^{2x}, g(x) = x^{2}, h(x) = x [/mm]
Überprüfen Sie die Funktionen auf lineare Unabhängigkeit. |
Ich habe zwar schon des öfteren Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüft, aber noch nie bei Funktionen. Wie soll ich da dran gehen?
Außerdem kenne ich die Funktion [mm] e^x [/mm] nur vom Hörensagen. e ist eine feste Zahl wie [mm] \pi, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 12.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Zahl e, die sog. Eulersche Zahl hat die Besonderheit , dass zu [mm] f(x)=e^x [/mm] die Ableitung wieder [mm] f'(x)=e^x [/mm] ist. Alle Exponentialfunktionen also etwa [mm] 2^x, 10^x \pi^x [/mm] sehen als Funktion ähnlich aus. Und ihre Ableitungen sind proportional zur Funktion. Das besondere an [mm] e^x [/mm] ist, dass eben der Proportionalitätsfaktor 1 ist .
Die lineare Unabhängigkeit überprüfst du wie bei anderen Vektoren: gibt es Faktoren a,b,c so dass [mm] a*x+b*x^2+c*e^x=0 [/mm] ohne dass a,b,c alle 0 sind.
Dabei heisst hier 0 NICHT dass es vielleicht einen (oder wenige) x-Wert gibt, so dass sich 0 ergibt, sondern es müsste für alle x-Werte 0 sein.
eigentlich müsstet ihr die e-Funktion in der Vorlesung als Reihe definiert haben?!
Gruss leduart
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