lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle zusammen!
Ich brauch mal einen Anfangstipp, wie ich an folgende Aufgabe rangehen kann:
Es sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] eine lineare Abbildung mit
f( [mm] \vektor{1 \\ 3}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] und
f( [mm] \vektor{0 \\ 1})= \vektor{1 \\ 2}.
[/mm]
Ich soll jetzt daraus einige andere Abbildungen bestimmen. Könnte mir jemand das mal am Beispiel f( [mm] \vektor{2 \\ 6}) [/mm] erklären?
danke schon mal
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 19.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo Franzie,
wahrscheinlich sollst Du ja nicht "weitere Abbildungen" bestimmen, sondern die Werte anderer Vektoren unter dieser Abbildung.
Der Clou ist ja, dass die beiden gegebenen Vektoren (ich nenne sie mal v und w) linear unabhängig sind und deshalb eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden, d.h. jeden beliebigen anderen Vektor u [mm] \in \IR^2 [/mm] kann man als Linearkombination dieser beiden darstellen:
[mm] u = \lambda_1 v + \lambda_2 w [/mm].
Also ist ja f(u) = [mm] f(\lambda_1 [/mm] v + [mm] \lambda_2 [/mm] w) und wenn f linear ist, dann....
So jetzt hör ich besser auf, ich hab glaube ich fast schon zuviel erzählt.
Gruß
Piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Aha, also könnte ich theoretisch
[mm] f(\vektor{2 \\ 6}) [/mm] = [mm] f(\lambda1* \vektor{1 \\ 3}+\lambda2*\vektor{0 \\ 1})= \lambda1*f(\vektor{1 \\ 3}+\lambda2*f(\vektor{0 \\ 1})
[/mm]
= [mm] \lambda1*\vektor{3 \\ 1}+\lambda2*\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
jetzt kann ich ja daraus die Werte für [mm] \lambda1
[/mm]
und [mm] \lambda2 [/mm] berechnen, das wären hier -2/5 und 16/5. Und wie mach ich dann weiter?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 19.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Schon dicht dran, aber noch nicht ganz....
um die beiden [mm] \lambda [/mm] bestimmen zu können brauchen wir ja drei Vektoren, die haben wir nur vor(!) Anwendung von f (nach Anwendung von f müssten wir uns ja noch nicht mal mehr im gleichen Vektorraum befinden).
Wir müssen also [mm] \vektor{2 \\ 6} [/mm] als darstellen als:
[mm] \vektor{2 \\ 6} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
und mit den beiden Lambdas, die Du aus dieser Gleichung bekommst kannst Du dann in Deine Gleichung mit f gehen.
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