lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Könnt ihr euch mal folgende Rechnung ansehen und gegebenenfalls korrigieren oder aud eventuelle Fehler hinweisen?
1. Es sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] eine lineare Abbildung mit
[mm] f(\vektor{1 \\ 3})=\vektor{3 \\ 1} [/mm] und
[mm] f(\vektor{0 \\ 1})=\vektor{1 \\ 2}. [/mm] Ich sollte nun [mm] f(\vektor{2 \\ 7}) [/mm] bestimmen, nur mal so als Beispiel, damit ich sehe, ob mein Prinzip richtig ist.
Da die beiden gegebenen Vektoren linear unabhängig sind, also eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] bilden, hab ich Folgendes gemacht:
f( [mm] \vektor{2 \\ 7})= \lambda* f(\vektor{1 \\ 3})+ \mu* f(\vektor{0 \\ 1})
[/mm]
[mm] =2*f(\vektor{1 \\ 3})+ 1*f(\vektor{0 \\ 1})
[/mm]
[mm] =2*\vektor{3 \\ 1}+1*\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
f( [mm] \vektor{2 \\ 7})= \vektor{7 \\ 4}
[/mm]
ist das richtig?
Ich soll dann noch eine Formel angeben, mit der man aus x,y [mm] \in \IR [/mm] den Wert von f( [mm] \vektor{x \\ y}) [/mm] berechnen kann. Ich hab jetzt alle Beispiele durchgerechnet und bin zu dem Ergebnis gekommen
f: [mm] \vektor{x \\ y} \to x*f((\vektor{1 \\ 3})+ [/mm] .... aber hier weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 04.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Hallöchen!
Hallo Franzie
> Könnt ihr euch mal folgende Rechnung ansehen und
> gegebenenfalls korrigieren oder aud eventuelle Fehler
> hinweisen?
> 1. Es sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] eine lineare Abbildung
> mit
> [mm]f(\vektor{1 \\ 3})=\vektor{3 \\ 1}[/mm] und
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1})=\vektor{1 \\ 2}.[/mm] Ich sollte nun
> [mm]f(\vektor{2 \\ 7})[/mm] bestimmen, nur mal so als Beispiel,
> damit ich sehe, ob mein Prinzip richtig ist.
> Da die beiden gegebenen Vektoren linear unabhängig sind,
> also eine Basis von [mm]\IR^{2}[/mm] bilden, hab ich Folgendes
> gemacht:
> f( [mm]\vektor{2 \\ 7})= \lambda* f(\vektor{1 \\ 3})+ \mu* f(\vektor{0 \\ 1})[/mm]
>
> [mm]=2*f(\vektor{1 \\ 3})+ 1*f(\vektor{0 \\ 1})[/mm]
>
> [mm]=2*\vektor{3 \\ 1}+1*\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> f( [mm]\vektor{2 \\ 7})= \vektor{7 \\ 4}[/mm]
> ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich soll dann noch eine Formel angeben, mit der man aus
> x,y [mm]\in \IR[/mm] den Wert von f( [mm]\vektor{x \\ y})[/mm] berechnen
> kann. Ich hab jetzt alle Beispiele durchgerechnet und bin
> zu dem Ergebnis gekommen
> f: [mm]\vektor{x \\ y} \to x*f((\vektor{1 \\ 3})+[/mm] .... aber
> hier weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand auf die Sprünge
> helfen?
Du musst nur konsequent zu Ende denken.
Du willst [mm] $\vektor{x \\ y}$ [/mm] zerlegen in die Basis
[mm] $\vektor{x \\ y}=\lambda\vektor{1 \\ 3}+\mu\vektor{0 \\ 1}$.
[/mm]
Du hast richtig gesehen, dass [mm] $\lambda=x$ [/mm] sein muss, damit die erste Komponente zu x wird. Jetzt must du [mm] $\mu$ [/mm] so wählen, dass die zweite Komponente zu y wird. Vom ersten Basisvektor hast du dann mit [mm] $\lambda=x$ [/mm] die Zahl 3x als 2. Komponente, dann muss doch [mm] $\mu=y-3x$ [/mm] sein, damit es insgesamt y gibt.
mfG Moudi
>
> liebe Grüße
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