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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 19.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung von [mm] \mathbb R^3 [/mm] nach [mm] \mathbb R^3 [/mm] durch:
[mm] f(\gamma [/mm] ) [mm] =A\cdot \gamma= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \gamma
[/mm]
Man zeige, dass es kein a aus [mm] \mathbb R^3 [/mm] gibt, mit (a,f(a), f(f(a)) linear unabhängig. |
Ich hab zu dieser Aufgabe den richtigen Lösungsweg, aber ich versteh ihn leider nicht ganz.
Das Minimalpolynom der Matrix A ist (x-3)²=X²-6X+9 und dann folgt:
(A²-6A+9)a = A²*a - 6 A a +9 a = f(f(a)) - 6 f(a) + 9a=0
damit ist ja dann die lineare Abhängigkeit gezeigt. Also wie man das Minimalpolynom errechnet und dass die Gleichung dann so stimmt, weiß ich, aber ich versteh nicht, wie man auf so einen Lösungsansatz kommt??
Warum muss man das über das Minimalpolynom lösen?
Und funktioniert das bei allen Aufgaben von diesem Typ'??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 19.03.2006 | | Autor: | t.sbial |
Man muss dass bestimmt nicht so lösen! Es gibt immer mehrere Möglichkeiten. Aber dass es sich hier anbietet versuche ich mal zu erläutern.
Wenn man so eine Aufgabe lösen möchte setzt man doch einfach wie gewohnt an:
Sei [mm] \lambda_{1}*a+\lambda_{2}*f(a)+\lambda_{3}*f(f(a))=0 [/mm] dann ist zu zeigen falls die drei Vektoren l.u. sind das [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] für i=1..3.
Das bedeutet aber hier doch:
[mm] \lambda_{1}*a+\lambda_{2}*A*a+\lambda_{3}*A²*a=0
[/mm]
Das schreibt man um in:
[mm] (\lambda_{1}+\lambda_{2}*A+\lambda_{3}*A²)*a=0
[/mm]
Setzt man [mm] p(x)=\lambda_{1}*x^{0}+\lambda_{2}*x+\lambda_{3}*x²
[/mm]
Dann hat man letztendlich:
p(A)*a=0
Nun zur Aufgabenstellung. Wenn es kein a geben soll dass diese drei vektoren l.u. sind so muss das einzige polynom dass diese Gleichung löst das Nullpolynom sein!
Ich hoffe das hilft ein wenig.
Gruß
T.Sbial
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Riley |
hey, danke für deine erklärung!!! doch so kann ich es nachvollziehen... jetzt ist es logisch! danke dir! ;)
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