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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 04.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung f: [mm] IR^2 [/mm] -> [mm] IR^3 [/mm]
[mm] \vektor{x\\y} \to \vektor{x-2y\\y-0.5x\\c}
[/mm]
genau dann linear ist, wenn c=0 gilt |
Hallo.
Jetzt muss ja gelten
f(u+v) = f(u)+f(v)
[mm] f(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] f(u)
Ich kriege das aber nicht hin, ich habe das einfach mal versucht, als normale Funktion auzuschreiben, also komponentenweise
[mm] f_1(x) [/mm] = x-2y
[mm] f_2(y) [/mm] = -0.5x+y
[mm] f_3(z) [/mm] = c
Wenn ich nun überall u+v einsetze, erhalte ich ja erst einmal
[mm] f_1(u+v) [/mm] = u+v-2y
[mm] f_1(u)+f_1(v) [/mm] soll ja jetzt ebenfalls gelten, da erhalte ich aber
u-2y+(v-2y)
Das ist ja jetzt definitiv nicht dasselbe.
Also, was nun?
Grüße
Phoney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 04.01.2007 | | Autor: | Phoney |
[mm] \vektor{x\\y} \to \vektor{x-2y\\y-0.5x\\c} [/mm]
Ich soll auch Ker und Im für c=0 berechnen.
Also beim Ker gilt doch:
x=2y
Also ist Ker: 2y=x
Und wie berechnet man Im? Das ist doch einfach die z achse oder nicht? Wie schreibt man das nun auf?
[mm] Im=\IR^2 \times \{0\}
[/mm]
So?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Do 04.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast recht, für jeden Vektor im Kern gilt 2y=x, also ist [mm] $\vektor{2y\\y}$ [/mm] ein allgemeiner Vektor des Kern (mit y beliebig), aber es ist doch auch:
[mm] $\vektor{2y\\y}=y*\vektor{2\\1}$
[/mm]
und hier siehst du nun also einen erzeugenden Vektor des Kerns, also:
Kern=span( [mm] $\vektor{2\\1}$ [/mm] )
(nur zu schreiben 2y=x reicht nicht, denn der Kern ist eine Vektormenge (sogar ein UVR) und nicht nur eine Gleichung)
schaffst du diese Überlegung auch für das Bild anzustellen?
(welche Dimension hat das Bild nach der Bild-Kern-Formel (manchmal auch Dimensionsformel genannt), also wieviele Vektoren erzeugen das Bild ?)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi.
> du hast recht, für jeden Vektor im Kern gilt 2y=x, also ist
> [mm]\vektor{2y\\y}[/mm] ein allgemeiner Vektor des Kern (mit y
> beliebig), aber es ist doch auch:
> [mm]\vektor{2y\\y}=y*\vektor{2\\1}[/mm]
> und hier siehst du nun also einen erzeugenden Vektor des
> Kerns, also:
> Kern=span( [mm]\vektor{2\\1}[/mm] )
>
> (nur zu schreiben 2y=x reicht nicht, denn der Kern ist eine
> Vektormenge (sogar ein UVR) und nicht nur eine Gleichung)
>
> schaffst du diese Überlegung auch für das Bild
> anzustellen?
> (welche Dimension hat das Bild nach der Bild-Kern-Formel
> (manchmal auch Dimensionsformel genannt), also wieviele
> Vektoren erzeugen das Bild ?)
Also zwei Dimensionen, oder nicht? Meine Lösung war ja: [mm] $IR^2x\{0\}$
[/mm]
Darf ich deiner Antwort entnehmen, dass die falsch ist?
Also bei Wikipedia steht, die Dimensionsformel lautet:
[mm] $dim(V_1+V_2)= [/mm] dim [mm] V_1 [/mm] + dim [mm] V_2 [/mm] - dim [mm] (V_1 \cap V_2)$
[/mm]
Klicke ich ein bisschen weiter, finde ich
dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)
und noch weiter
Im f := f(A)
mit f: A [mm] \rightarrow [/mm] b
Also in unserem Fall
$Im f = [mm] \IR^2\times \{0\}$
[/mm]
oder doch einfahc nur Im f = [mm] \IR^2?
[/mm]
MfG
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 05.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
>
> dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)
>
Ja, genau diese meine ich !
Du weißt, dass V 2-dimensional ist und dass der Kern 1-dimensional ist, also wie groß ist dann das Bild ?!?
>
> [mm]Im f = \IR^2\times \{0\}[/mm]
>
nein, wie gesagt, das Bild ist eindimensional, also wird wieder durch einen Vektor erzeugt, versuche doch mal einen allgemeinen Vektor des Bildes aufzuschreiben (der nur von einer Variablen abhängt) und dann so ähnlich umzuformen, wie ich es beim Kern gezeigt habe - findest du einen aufspannenden Vektor ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo
>
> >
> > dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)
> >
>
> Ja, genau diese meine ich !
> Du weißt, dass V 2-dimensional ist und dass der Kern
> 1-dimensional ist, also wie groß ist dann das Bild ?!?
>
>
> >
> > [mm]Im f = \IR^2\times \{0\}[/mm]
> >
>
> nein, wie gesagt, das Bild ist eindimensional, also wird
> wieder durch einen Vektor erzeugt, versuche doch mal einen
> allgemeinen Vektor des Bildes aufzuschreiben (der nur von
> einer Variablen abhängt) und dann so ähnlich umzuformen,
> wie ich es beim Kern gezeigt habe - findest du einen
> aufspannenden Vektor ?
Die x-Achse? im f= [mm] \vektor{1\\0}?
[/mm]
Schöne Grüße
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Fr 05.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also das Bild ist Teilmenge des [mm] $\IR^3$, [/mm] also muss dein Vektor 3 Komponenten haben...
> Die x-Achse? im f= [mm]\vektor{1\\0}?[/mm]
selbst wenn du also [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] meinst, wie bist du denn darauf gekommen?
(es ist nämlich nicht richtig und man kann dir nur helfen, wenn du uns auch erklärst, wo du die Fehler machst - hast du es denn mal mit der von mir vorgeschlagenen Methode versucht?)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:41 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
> also das Bild ist Teilmenge des [mm]\IR^3[/mm], also muss dein
> Vektor 3 Komponenten haben...
>>nein, wie gesagt, das Bild ist eindimensional, also wird wieder durch einen Vektor erzeugt, versuche doch mal einen allgemeinen Vektor des Bildes aufzuschreiben (der nur von einer Variablen abhängt)
Davon war ich dann verwirrt. Von welchen Bildern reden wir denn?
>
>
> > Die x-Achse? im f= [mm]\vektor{1\\0}?[/mm]
>
> selbst wenn du also [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] meinst, wie bist du
> denn darauf gekommen?
Wegen
>>nein, wie gesagt, das Bild ist eindimensional,
das habe ich so verstanden, als ob es nur eine Komponente im Vektor geben darf.
Aber wenn es dreidimensional ist und du den Vektor Kern=span( [mm] $\vektor{2\\1}$ [/mm] ) vorgegeben hast, dann ist es die x und y achse. Weil die z-Komponenten Null bleiben muss. Und in dem Ker stehen in der ersten Zeile etwas und in der zweiten Zeile, also muss es
Im = [mm] \vektor{1\\1 \\0}
[/mm]
sein, ja?
> (es ist nämlich nicht richtig und man kann dir nur helfen,
> wenn du uns auch erklärst, wo du die Fehler machst - hast
Das macht Sinn.
> du es denn mal mit der von mir vorgeschlagenen Methode
> versucht?)
Du meinst die Formeln mit dim?
Ne, die habe ich gar nicht verstanden und die habe ich auch nicht verstanden:
dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)
was ist denn V? Ich würde mal vermuten, dass das [mm] IR^2 [/mm] ist, weil ich die Def nur so kenne: f: V -> W
Aber wenn ich mir deine Antworten so durchlese, ist das bestimmt nicht [mm] IR^2.
[/mm]
Ich würde es ja so schreiben:
[mm] \vektor{x-2y\\y-0.5x}=\vektor{2}{1}+\vektor{?\\?\\0}
[/mm]
also ich kann mir leider nichts unter der Formel vorstellen. Ich dachte auch immer, man kann es an der Anzahl der Zeilen ablesen vom Ker ablesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 05.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 04.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
der fehler ist das du bei dem versuch den homomorphismus nachzuweisen beide komponenten nehmen musst... nicht nur die x komponente des vektors. also für [mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] )zeigst du das folgendermaßen:
[mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{x+a \\ y+b} [/mm] ) = (x+a)- 2(y+b) = (x -2y) + (a -2b) = [mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ) + [mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] )
analog gilt das auch für [mm] f_{2}
[/mm]
um zu zeigen das c=0 sein soll ist dann [mm] f_{3} [/mm] interessant... als tipp:
[mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{0 \\ 0 } [/mm] ) soll gleich [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] sein da
[mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ) = [mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{0*x \\ 0*y} [/mm] ) = 0 * [mm] f_{1} [/mm] ( [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ist 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung f: [mm] IR^2 [/mm] -> [mm] IR^3 [/mm]
[mm] \vektor{x\\y} \to \vektor{x-2y\\y-0.5x\\c} [/mm]
genau dann linear ist, wenn c=0 gilt |
Hi.
> der fehler ist das du bei dem versuch den homomorphismus
> nachzuweisen beide komponenten nehmen musst... nicht nur
> die x komponente des vektors. also für [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> )zeigst du das folgendermaßen:
>
> [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{x+a \\ y+b}[/mm] ) = (x+a)- 2(y+b) = (x -2y) +
> (a -2b) = [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ) + [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
> )
>
> analog gilt das auch für [mm]f_{2}[/mm]
>
> um zu zeigen das c=0 sein soll ist dann [mm]f_{3}[/mm]
> interessant... als tipp:
>
> [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{0 \\ 0 }[/mm] ) soll gleich [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> sein da
> [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] ) = [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{0*x \\ 0*y}[/mm] )
> = 0 * [mm]f_{1}[/mm] ( [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ) = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] ist
Warum steht hier immer [mm] f_1, [/mm] sollte das nicht [mm] f_3 [/mm] sein?
Wie genau soll das denn aussehen?
Ich meine, ist das nicht sogar schon die komplette Rechnung, fehlt nicht nur noch der Rechenschritt:
$= 0 * [mm]f_{3}[/mm] ( [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ) =0*x+0*y+0*c= [mm][mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }$
[/mm]
?
Gruß,
Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 07.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ja, , wenn du das mit dem rechenschritt rein nimmst bist du soweit fertig... mit dem f_{31... joa.. mein fehler... hast recht muss ne 3 unten hin...
sorry 
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