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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mo 04.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] lineare Abbildungen von V nach W. Man definiere [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] und [mm] c*\alpha [/mm] durch [mm] (\alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2) [/mm] (v) = [mm] \alpha_1(v) +\alpha_2(v) [/mm] und [mm] (c*\alpha)(v) [/mm] = [mm] c*\alpha(v).
[/mm]
a)Beweise, dass [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] unf [mm] c*\alpha [/mm] lineare Abbildungen sind , und beschreibe die zugehörige Matrix in Abhängigkeit von den Matrizen von [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2.
[/mm]
b) Sei Hom(V,W) die Menge aller linearer Abbildungen von V nach W. Man beweise, dass Hom(V,W) mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet. |
zu a)
Der Beweis der lin. Abbildungen war kein Problem. Aber bei der zugehörigen Matrix bin ich mir nicht so sicher.
Mein Vorschlag:
Sei [mm] \alpha_1 [/mm] := A und [mm] \alpha_2 [/mm] := B
Daraus folgt, dass [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] = A + B ist und
[mm] c*\alpha [/mm] = c*A.
Ist dies korrekt?
zu b)
Ich muss nur noch die Existenz des neutr. Elementes und der Inversen El. zeigen. Der Rest war mir klar.
Mein Vorschlag:
[mm] (\alpha [/mm] + 0)(v) = [mm] \alpha(v) [/mm] + 0 = [mm] \alpha(v) [/mm]
[mm] (\alpha [/mm] + [mm] (-\alpha))(v) [/mm] = [mm] \alpha(v) [/mm] - [mm] \alpha(v) [/mm] = 0.
Ist dies ok?
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> Seien [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] lineare Abbildungen von V nach
> W. Man definiere [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] und [mm]c*\alpha[/mm] durch
> [mm](\alpha_1[/mm] + [mm]\alpha_2)[/mm] (v) = [mm]\alpha_1(v) +\alpha_2(v)[/mm] und
> [mm](c*\alpha)(v)[/mm] = [mm]c*\alpha(v).[/mm]
>
> a)Beweise, dass [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] unf [mm]c*\alpha[/mm] lineare
> Abbildungen sind , und beschreibe die zugehörige Matrix in
> Abhängigkeit von den Matrizen von [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2.[/mm]
>
> b) Sei Hom(V,W) die Menge aller linearer Abbildungen von V
> nach W. Man beweise, dass Hom(V,W) mit diesen Verknüpfungen
> einen Vektorraum bildet.
> zu a)
> Der Beweis der lin. Abbildungen war kein Problem. Aber bei
> der zugehörigen Matrix bin ich mir nicht so sicher.
>
> Mein Vorschlag:
> Sei [mm]\alpha_1[/mm] := A und [mm]\alpha_2[/mm] := B
> Daraus folgt, dass [mm]\alpha_1[/mm] + [mm]\alpha_2[/mm] = A + B ist und
> [mm]c*\alpha[/mm] = c*A.
> Ist dies korrekt?
Hallo,
es ist natürlich nicht [mm] \alpha_1 [/mm] dasselbe wie A.
Schreib lieber: sei [mm] \alpha_1(v):= [/mm] Av usw.
Das, was Du mit dem, was du schreibst, sagen willst, stimmt aber.
>
> zu b)
> Ich muss nur noch die Existenz des neutr. Elementes und
> der Inversen El. zeigen. Der Rest war mir klar.
>
> Mein Vorschlag:
> [mm](\alpha[/mm] + [mm] \green{0})(v) [/mm] = [mm]\alpha(v)[/mm] + 0 = [mm]\alpha(v)[/mm]
>
> [mm](\alpha[/mm] + [mm])\green{-\alpha}))(v)[/mm] = [mm]\alpha(v)[/mm] - [mm]\alpha(v)[/mm] = 0.
>
> Ist dies ok?
Du hast etwas wichtiges vergessen: ich weiß gar nicht, was ich mir unter [mm] \green{0} [/mm] und [mm] \green{-\alpha} [/mm] vorstellen soll.
Das müssen ja lineare Funktionen sein. Wie sind die denn definiert?
Gruß v. Angela
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