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| Aufgabe | Sei [mm] \delta: [/mm] V -> W eine Abbildung zwischen [mm] \IK-Vektorräumen. [/mm] Zeige, dass [mm] \delta
[/mm]
genau dann linear ist, wenn es folgender Bedingung genügt:
[mm] \forall \lambda \in \IK \forall v_1,v_2 \in [/mm] V : [mm] \delta (v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2) [/mm] = [mm] \delta (v_1) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (v_2) [/mm] |
[mm] v_1=v_2 [/mm] =0
[mm] \delta (v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2) [/mm] = [mm] \delta [/mm] (0 + [mm] \lambda [/mm] 0) = [mm] \delta [/mm] (0) + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta [/mm] (0) $= ??
Ich verstehs nicht ganz!
[mm] \delta [/mm] (x +y) = [mm] \delta(x) [/mm] + [mm] \delta(y)
[/mm]
Die eigenschaft muss nachweisen aber wie mit der obigen bedingung?
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moin,
Das ist eigentlich die Definition von linear...
Deshalb würde mich doch mal interessieren wie genau ihr lineare Abbildungen definiert habt, denn ohne eine genaue Definition aus der man folgern kann dürfe der Beweis problematisch werden.^^
lg
Schadow
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Ja Lineare Abbildungen:
-) 0 wird auf 0 abgebildet
-) f(x+y) = f(x) + f(y)
-) [mm] \lambda [/mm] * f(x) = f [mm] (\lambda [/mm] * x)
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Hei, vielen Dank
Ganz hab ichs nicht verstanden wie ich das machen soll. Dein aufgeschriebener Teil ist mir schon klar.
-) 0 abgebildet auf 0
f (0) = f ( 0 + [mm] \lambda [/mm] * 0) = f (0) + [mm] \lambda [/mm] * f (0) = ??
-> das in der Def. sind ja zwei vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] und jetzt hab ich ja nur einen Nullvektor. wie kann ich dann die Def. in der angabe verwenden?
-) [mm] \lambda [/mm] * f (x)
= [mm] \lambda [/mm] * f [mm] (x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2 [/mm] )
?Genau die selbe Frage, habe ja nur einne Vektor
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Hallo nochmal,
> Hei, vielen Dank
> Ganz hab ichs nicht verstanden wie ich das machen soll.
> Dein aufgeschriebener Teil ist mir schon klar.
>
> -) 0 abgebildet auf 0
> f (0) = f ( 0 + [mm]\lambda[/mm] * 0) = f (0) + [mm]\lambda[/mm] * f (0) =
> ??
Ja, da bleibst du stecken bei dem Problem, was $f(0)$ ist
Besser: [mm] $f(0)=f(v-v)=f(v+(-1)\cdot{}v)=f(v)+(-1)\cdot{}f(v)$ [/mm] nach der Aufgabendef.
$=f(v)-f(v)=0$
> -> das in der Def. sind ja zwei vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] und
> jetzt hab ich ja nur einen Nullvektor. wie kann ich dann
> die Def. in der angabe verwenden?
>
> -) [mm]\lambda[/mm] * f (x)
> = [mm]\lambda[/mm] * f [mm](x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] )
> ?Genau die selbe Frage, habe ja nur einne Vektor
Beginne mit [mm] $f(\lambda [/mm] v)$ und folgere, dass das [mm] $=\lambda [/mm] f(v)$ ist.
[mm] $f(\lambda v)=f(0+\lambda [/mm] v)=...$
Gruß
schachuzipus
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danke für die schnelle antwort
$ [mm] f(\lambda v)=f(0+\lambda [/mm] v)=f (0) + [mm] \lambda [/mm] * f(v) = 0 + [mm] \lambda [/mm] f (v)= [mm] \lambda [/mm] f (v)
Da wir ja gezeigt haben oben dass 0 auf der 0 abgeibildet wird
Ersten Post- du meintest man müsse noch etwas in die andere Richtung zeigen? Meines Ermessens wäre man jetzt fertig, was fehlt denn noch?
> ebenso in die andere Richtung, wieso folgt aus den hiesigen 3 >Eigenschaften, dass $ [mm] f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $ für alle $ [mm] >x,y,\lambda [/mm] $ gilt?
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Hallo nochmal,
> danke für die schnelle antwort
> $ [mm]f(\lambda v)=f(0+\lambda[/mm] v)=f (0) + [mm]\lambda[/mm] * f(v) = 0 +
> [mm]\lambda[/mm] f (v)= [mm]\lambda[/mm] f (v)
>
> Da wir ja gezeigt haben oben dass 0 auf der 0 abgeibildet
> wird
Genau das ist der springende Punkt! Das mussten wir also vorher machen 
> Ersten Post- du meintest man müsse noch etwas in die
> andere Richtung zeigen? Meines Ermessens wäre man jetzt
> fertig, was fehlt denn noch?
In der Aufgabenstellung steht doch was von "genau dann, wenn"
Wir haben gezeigt: Def. Aufgabe --> "deine" 3 definierenden Eigenschaften
Fehlt noch: "deine" 3 definierenden Eigenschaften --> [mm] $\forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y)$
>
> > ebenso in die andere Richtung, wieso folgt aus den hiesigen
> 3 >Eigenschaften, dass [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]
> für alle [mm]>x,y,\lambda[/mm] gilt?
Jo, das meinte ich (aber ist ein Zitat oder? )
Gruß
schachuzipus
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>In der Aufgabenstellung steht doch was von "genau dann, wenn"
>Wir haben gezeigt: Def. Aufgabe --> "deine" 3 definierenden Eigenschaften
>Fehlt noch: "deine" 3 definierenden Eigenschaften --> $ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
Aber ich das nicht genau dass selbe, was wir schon getan haben?
>Jo, das meinte ich (aber ist ein Zitat oder? )
Ja ist es.
[mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y)
[mm] f(x+\lambda [/mm] y)
=f(x) + f [mm] (\lambda [/mm] y) ->Linearitätseigenschaft 1
= f (x) + [mm] \lambda [/mm] f (y) ->Linearitätseigenschaft 2
?? Oder wie meintest du das? Die mit 0 hab ich nicht verwendet ;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass die Abb. linear ist.
Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3 Eigenschaften I, II, III
dann muss die Funktion die Form haben :$ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
Gruss leduart
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> Hallo
> Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass die Abb. linear ist.
> Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3 Eigenschaften I, II, III
> dann muss die Funktion die Form haben :$ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda [/mm] > [mm] y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
> Gruss leduart
Hallo, Verständnis fehlt mir ehrlich gesagt noch etwas.
Von was gehe ich hiermit also aus?
von welcher Seite will ich zur welchen anderen Seite?
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Hallo nochmal,
> > Hallo
> > Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass
> die Abb. linear ist.
> > Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3
> Eigenschaften I, II, III
> > dann muss die Funktion die Form haben :[mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda > y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]
>
> > Gruss leduart
>
> Hallo, Verständnis fehlt mir ehrlich gesagt noch etwas.
> Von was gehe ich hiermit also aus?
> von welcher Seite will ich zur welchen anderen Seite?
Das hat leduart doch ganz genau aufgeschrieben.
Du setzt für die Rückrichtung voraus, dass [mm]f[/mm] die 3 Eigenschaften, die ihr für eine lineare Abb. definiert habt, erfüllt.
Zeigen musst du, dass für [mm]f[/mm] dann gilt: [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]
Gib dir also bel. [mm]x,y,\lambda[/mm] vor.
Dann ist [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+f(\lambda y)[/mm] nach Eigenschaft 2
[mm]=f(x)+\lambda f(y)[/mm] nach Eigenschaft ???
Das war zu zeigen - fülle die ???
Gruß
schachuzipus
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ABer das hab ich doch schon oben gemacht? Und leduart meinte es wäre falsch. Außerdem ist die Eigeschaft dass 0 auf 0 abbildet nicht enthalten!
Ich zitiere (von meinen obigen Beitrag)
> $ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] $ f(y)
>$ [mm] f(x+\lambda [/mm] $ y)
> =f(x) + f $ [mm] (\lambda [/mm] $ y) ->Linearitätseigenschaft 1
> = f (x) + $ [mm] \lambda [/mm] $ f (y) ->Linearitätseigenschaft 2
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Hallo nochmal,
> ABer das hab ich doch schon oben gemacht?
Ja, hast du, wie ich gerade sehe.
> Und leduart
> meinte es wäre falsch.
Du hast die Nummern der Eigenschaften nicht ganz konsistent, aber sonst passt das
> Außerdem ist die Eigeschaft dass 0
> auf 0 abbildet nicht enthalten!
Wieso?
Das musst du doch gar nicht zeigen.
> Ich zitiere (von meinen obigen Beitrag)
> > [mm]\forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda[/mm] f(y)
> >[mm] f(x+\lambda[/mm] y)
> > =f(x) + f [mm](\lambda[/mm] y) ->Linearitätseigenschaft 1
Das ist Eigenschaft 2 in der von dir aufgeschriebenen Reihenfolge
> > = f (x) + [mm]\lambda[/mm] f (y) ->Linearitätseigenschaft 2
Dies ist Eigenschaft 3
Nochmal zur Struktur (auch wenn es zum wiederholten Male ist, schaden kann es nicht):
Es ist zu zeigen für [mm]f:V\to W[/mm], [mm]V,W \ \ \ \IK-\text{Vektorräume}[/mm] mit [mm]\IK[/mm] ein Körper:
[mm]\forall x,y\in V,\lambda\in\IK: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y) \ \ \gdw \ \ f \ \text{lineare Abbildung, dh. die 3 Eigenschaften aus eurer Def. in der VL gelten}[/mm]
Die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] hatten wir zuerst gemacht, indem wir aus [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm] für bel. [mm]x,y,\lambda[/mm] gefolgert hatten, dass
1) [mm]f(0)=0[/mm]
2) [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm]
3) [mm]f(\lambda x)=\lambda f(x)[/mm]
gilt.
Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] hatte ich bis auf das fehlende ?? vorgemacht.
Da ist zu zeigen, dass aus 1),2),3) folgt, dass [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm] folgt.
Dass 0 auf 0 abgebildet wird, ist dabei nicht zu zeigen ...
Gruß
schachuzipus
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