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| Aufgabe | a) Sei K ein Körper und [mm] $T:K^2 \rightarrow K^2$ [/mm] gegeben durch [mm] $T((x_1,x_2))=(x_1,0)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass T linear ist und bestimmen Sie die Matrixdarstellung von T bezüglich der Standardbasis von [mm] $K^2$.
[/mm]
b) Es sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $V$ der [mm] $\IR-Vektorraum$ [/mm] der Polynome P mit reellen Koeffizienten in einer reellen Variablen $x$ und $deg(P) [mm] \leq [/mm] n$.
Außerdem setzen wir $D(P)=P'$, wobei $P'$ die Ableitung von $P$ nach $x$ bezeichnet.
Zeigen Sie, dass D eine lineare Funktion von V nach V ist und bestimmen Sie die Matrix von D bezüglich der (angeordneten) Basis [mm] $\mathcal{B}:=\{x^0,...,x^n\}$ [/mm] von V. |
Also bei der ersten Teilaufgabe hätte ich folgendes:
a) z.Z: $1. T(a+b)=T(a)+T(b)$ [mm] $\forall a,b\in K^2$
[/mm]
$2. [mm] T(\labda a)=\labda [/mm] T(a)$ [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in K^2 [/mm] , [mm] \forall \lambda \in [/mm] K$
zu 1. Seien [mm] $(x_1,x_2),(x_3,x_4) \in \K^2$ [/mm] und [mm] $\lambda \in [/mm] K$:
[mm] $T((x_1,x_2)+(x_3,x_4))=T((x_1+x_3,x_2+x_4))=(x_1+x_3,0)$
[/mm]
[mm] $T((x_1,x_2))+T((x_3,x_4))=(x_1,0)+(x_3,0)=(x_1+x_3,0)$
[/mm]
zu 2.
[mm] $T(\lambda(x_1,x_2))=T((\lambda x_1, \lambda x_2))=(\lambda x_1, [/mm] 0)$
[mm] $\lambda T(x_1,x_2)= \lambda (x_1,0)=(\lambda x_1,0)$
[/mm]
Aus 1. und 2. folgt: T ist linear.
Zum Teil b) habe ich folgendes:
Standardbasis von [mm] $K^2$ [/mm] sind ja
[mm] $\mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\}$
[/mm]
Somit sind die Bilder Basisvektoren:
$T((1,0))=(1,0)$
$T((0,1))=(0,0)$
Diese Bildvektoren dargestellt als Linearkombination der Basisvektoren:
$T((1,0))=(1,0)=1*(1,0)+0*(0,1)$
$T((0,1))=(0,0)=0*(1,0)+0*(0,1)$
Somit ergibt sich aus den Koeffizienten die Matrix:
[mm] $A:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
Stimmt die erste Teilaufgabe soweit?
Bei der Aufgabe b) bräuchte ich etwas Hilfe!
Vllt kommt sie mir nur so kompliziert vor, wegen dem langen Text, aber ich steh irgendwie aufm Schlauch :)
Vielen Dank
LG Dudi
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> b) Es sei [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]V[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der Polynome
> P mit reellen Koeffizienten in einer reellen Variablen [mm]x[/mm]
> und [mm]deg(P) \leq n[/mm].
> Außerdem setzen wir [mm]D(P)=P'[/mm], wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm]
> nach [mm]x[/mm] bezeichnet.
> Zeigen Sie, dass D eine lineare Funktion von V nach V ist
> und bestimmen Sie die Matrix von D bezüglich der
> (angeordneten) Basis [mm]\mathcal{B}:=\{x^0,...,x^n\}[/mm] von V.
Hallo,
Aufgabe a) hast Du richtig gelöst.
Zu Aufg. b):
In V sind Polynome vom Höchstgrad n, also haben alle [mm] p\in [/mm] V die Gestalt
[mm] p=a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.
[/mm]
Die Funktion [mm] D:V\to [/mm] V, um die es hier geht, ordnet jedem Polynom p seine Ableitung zu, es ist also
D(p)=p' für alle [mm] p\in [/mm] V.
Was ist also [mm] D(a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)?
[/mm]
Die Linearität kannst Du durch Vorrechnen zeigen, oder indem Du Dich auf bereits erworbene Kenntnisse bzgl des Ableitens berufst.
Um die Matrix zu bekommen, mußt Du erstmal die Bilder der n+1 Basisvektoren von B berechnen,
also [mm] D(x^i)=... [/mm] für i=0,1,...,n.
Schreib sie dann als Koordinatenvektoren bzgl B und stopfe diese als Spalten in eine Matrix.
LG Angela
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> Hallo,
>
> Aufgabe a) hast Du richtig gelöst.
>
> Zu Aufg. b):
>
> In V sind Polynome vom Höchstgrad n, also haben alle [mm]p\in[/mm]
> V die Gestalt
>
> [mm]p=a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.[/mm]
>
Das wäre dann ja [mm] $\summe_{i=0}^{n}a_i x^i$
[/mm]
> Die Funktion [mm]D:V\to[/mm] V, um die es hier geht, ordnet jedem
> Polynom p seine Ableitung zu, es ist also
>
> D(p)=p' für alle [mm]p\in[/mm] V.
>
> Was ist also [mm]D(a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)?[/mm]
>
[mm] $\summe_{i=0}^{n}i*a_i x^{i-1}$
[/mm]
> Die Linearität kannst Du durch Vorrechnen zeigen, oder
> indem Du Dich auf bereits erworbene Kenntnisse bzgl des
> Ableitens berufst.
>
Also ich könnte das dann so machen:
[mm] $D(P_1 [/mm] + [mm] P_2) [/mm] = [mm] (P_1 [/mm] + [mm] P_2)' [/mm] =$ (nach Summenregel) [mm] $P_1 [/mm] ' + [mm] P_2 [/mm] ' = [mm] D(P_1)+D(P_2)$
[/mm]
[mm] $D(\labda P_1) [/mm] = [mm] (\labda P_1)' [/mm] =$ (da [mm] $\lambda$ [/mm] konst.)$ [mm] \lambda P_1 [/mm] ' = [mm] \lambda D(P_1)$
[/mm]
und somit wäre die linearität schonmal bewiesen?
> Um die Matrix zu bekommen, mußt Du erstmal die Bilder der
> n+1 Basisvektoren von B berechnen,
> also [mm]D(x^i)=...[/mm] für i=0,1,...,n.
> Schreib sie dann als Koordinatenvektoren bzgl B und stopfe
> diese als Spalten in eine Matrix.
>
> LG Angela
>
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Hallo DudiPupan,
> > Zu Aufg. b):
> >
> > In V sind Polynome vom Höchstgrad n, also haben alle [mm]p\in[/mm]
> > V die Gestalt
> >
> > [mm]p=a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.[/mm]
> >
>
> Das wäre dann ja [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i x^i[/mm]
Jo
>
> > Die Funktion [mm]D:V\to[/mm] V, um die es hier geht, ordnet jedem
> > Polynom p seine Ableitung zu, es ist also
> >
> > D(p)=p' für alle [mm]p\in[/mm] V.
> >
> > Was ist also [mm]D(a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)?[/mm]
> >
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}i*a_i x^{i-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Die Linearität kannst Du durch Vorrechnen zeigen, oder
> > indem Du Dich auf bereits erworbene Kenntnisse bzgl des
> > Ableitens berufst.
> >
>
> Also ich könnte das dann so machen:
>
> [mm]D(P_1 + P_2) = (P_1 + P_2)' =[/mm] (nach Summenregel) [mm]P_1 ' + P_2 ' = D(P_1)+D(P_2)[/mm]
Ich denke, das solltest du nachrechnen, du hast ja nur statt D einen Strich geschrieben 
Etwa so: [mm] $P_1(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^{i}, P_2(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}b_ix^{i}$ [/mm] mit [mm] $a_i,b_i\in\IK$ [/mm] (beachte, das die beiden Polynome durchaus unterschiedlichen Grad haben können und auch Grade kleiner als n)
Dann ist [mm] $(P_1+P_2)(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^{i}$ [/mm] und [mm] $D((P_1+P_2)(x))=...=D(P_1(x))+D((P_2(x))$
[/mm]
Die ... rechne nach und vor
> [mm]D(\labda P_1) = (\labda P_1)' =[/mm] (da [mm]\lambda[/mm] konst.)[mm] \lambda P_1 ' = \lambda D(P_1)[/mm]
Ähnlich wie für die Additivität rechne konkret nach!
>
> und somit wäre die linearität schonmal bewiesen?
Wenn du das nachgerechnet hast, dann ja!
Gruß
schachuzipus
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> Hallo DudiPupan,
>
>
>
> > > Zu Aufg. b):
> > >
> > > In V sind Polynome vom Höchstgrad n, also haben alle [mm]p\in[/mm]
> > > V die Gestalt
> > >
> > > [mm]p=a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.[/mm]
> > >
> >
> > Das wäre dann ja [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i x^i[/mm]
>
> Jo
>
> >
> > > Die Funktion [mm]D:V\to[/mm] V, um die es hier geht, ordnet jedem
> > > Polynom p seine Ableitung zu, es ist also
> > >
> > > D(p)=p' für alle [mm]p\in[/mm] V.
> > >
> > > Was ist also [mm]D(a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)?[/mm]
> > >
> >
> > [mm]\summe_{i=0}^{n}i*a_i x^{i-1}[/mm]
> >
> > > Die Linearität kannst Du durch Vorrechnen zeigen, oder
> > > indem Du Dich auf bereits erworbene Kenntnisse bzgl des
> > > Ableitens berufst.
> > >
> >
> > Also ich könnte das dann so machen:
> >
> > [mm]D(P_1 + P_2) = (P_1 + P_2)' =[/mm] (nach Summenregel) [mm]P_1 ' + P_2 ' = D(P_1)+D(P_2)[/mm]
>
> Ich denke, das solltest du nachrechnen, du hast ja nur
> statt D einen Strich geschrieben
>
> Etwa so: [mm]P_1(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^{i}, P_2(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}b_ix^{i}[/mm]
> mit [mm]a_i,b_i\in\IK[/mm] (beachte, das die beiden Polynome
> durchaus unterschiedlichen Grad haben können und auch
> Grade kleiner als n)
>
> Dann ist [mm](P_1+P_2)(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^{i}[/mm]
> und [mm]D((P_1+P_2)(x))=...=D(P_1(x))+D((P_2(x))[/mm]
Okay, dann habe ich:
[mm] $D((P_1+P_2)(x))=D(\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^{i})=\sum\limits_{i=0}^{n}(a_i+b_i)ix^{i-1}=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i [/mm] i [mm] x^{i-1}+b_i [/mm] i [mm] x^{i-1}=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i [/mm] i [mm] x^{i-1}+\sum\limits_{i=0}^{n}b_i [/mm] i [mm] x^{i-1}= D(P_1(x))+D((P_2(x))$
[/mm]
Und das dann analog mit lambda ?
:) Das müsst ich hinbekommen!
Vielen Dank
LG
Dudi
>
> Die ... rechne nach und vor
>
> > [mm]D(\labda P_1) = (\labda P_1)' =[/mm] (da [mm]\lambda[/mm] konst.)[mm] \lambda P_1 ' = \lambda D(P_1)[/mm]
>
> Ähnlich wie für die Additivität rechne konkret nach!
>
> >
> > und somit wäre die linearität schonmal bewiesen?
>
> Wenn du das nachgerechnet hast, dann ja!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, richtig
Gruss leduart
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> > Hallo,
> >
> > Aufgabe a) hast Du richtig gelöst.
> >
> > Zu Aufg. b):
> >
> > In V sind Polynome vom Höchstgrad n, also haben alle [mm]p\in[/mm]
> > V die Gestalt
> >
> > [mm]p=a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n.[/mm]
> >
>
> Das wäre dann ja [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i x^i[/mm]
>
> > Die Funktion [mm]D:V\to[/mm] V, um die es hier geht, ordnet jedem
> > Polynom p seine Ableitung zu, es ist also
> >
> > D(p)=p' für alle [mm]p\in[/mm] V.
> >
> > Was ist also [mm]D(a_0x^0+a_1x^1+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)?[/mm]
> >
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}i*a_i x^{i-1}[/mm]
>
> > Die Linearität kannst Du durch Vorrechnen zeigen, oder
> > indem Du Dich auf bereits erworbene Kenntnisse bzgl des
> > Ableitens berufst.
> >
>
> Also ich könnte das dann so machen:
>
> [mm]D(P_1 + P_2) = (P_1 + P_2)' =[/mm] (nach Summenregel) [mm]P_1 ' + P_2 ' = D(P_1)+D(P_2)[/mm]
>
> [mm]D(\labda P_1) = (\labda P_1)' =[/mm] (da [mm]\lambda[/mm] konst.)[mm] \lambda P_1 ' = \lambda D(P_1)[/mm]
>
> und somit wäre die linearität schonmal bewiesen?
>
> > Um die Matrix zu bekommen, mußt Du erstmal die Bilder der
> > n+1 Basisvektoren von B berechnen,
> > also [mm]D(x^i)=...[/mm] für i=0,1,...,n.
Also die Bilder der Basisvektoren wären dann ja:
[mm] $D(x^i)=i*x^i-1$ [/mm] oder?
Aber ich weiß nicht genau, wie ich diese jetzt als Koordinatenvektoren schreiben soll!
Ich muss die Bilder der Basen ja als lin.komb der Basen darstellen oder?
Also:
[mm] $D(x^0)=0=0*x^0+0*x^1+...+0*x^n$
[/mm]
[mm] $D(x^1)=1=1*x^0+0*x^1+...+0*x^n$
[/mm]
[mm] $D(x^2)=2x=0*x^0+2*x^1+...+0*x^n$
[/mm]
.
.
.
[mm] $D(x^n)=nx^{n-1}=0*x^0+0*x^1+...+n*x^{n-1}+0*x^n$
[/mm]
Stimmt das so weit?
> > Schreib sie dann als Koordinatenvektoren bzgl B und
> stopfe
> > diese als Spalten in eine Matrix.
> >
> > LG Angela
> >
>
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Hallo nochmal,
> > > Um die Matrix zu bekommen, mußt Du erstmal die Bilder der
> > > n+1 Basisvektoren von B berechnen,
> > > also [mm]D(x^i)=...[/mm] für i=0,1,...,n.
>
> Also die Bilder der Basisvektoren wären dann ja:
> [mm]D(x^i)=i*x^i-1[/mm] oder?
Ja, mache aber geschweifte Klammern um die Exponenten (wenn sie länger als 1 Zeichen sind), also x^{i-1} für [mm] $x^{i-1}$
[/mm]
> Aber ich weiß nicht genau, wie ich diese jetzt als
> Koordinatenvektoren schreiben soll!
> Ich muss die Bilder der Basen ja als lin.komb der Basen
> darstellen oder?
Jo
> Also:
> [mm]D(x^0)=0=0*x^0+0*x^1+...+0*x^n[/mm]
> [mm]D(x^1)=1=1*x^0+0*x^1+...+0*x^n[/mm]
> [mm]D(x^2)=2x=0*x^0+2*x^1+...+0*x^n[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]D(x^n)=nx^{n-1}=0*x^0+0*x^1+...+n*x^{n-1}+0*x^n[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
>
> > > Schreib sie dann als Koordinatenvektoren bzgl B und
> > stopfe
> > > diese als Spalten in eine Matrix.
Nun mache mal das, was Angela hier vorschlägt, du bist beinahe fertig!
Welches Format hat die entstehende Matrix?
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
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> > > > Um die Matrix zu bekommen, mußt Du erstmal die Bilder der
> > > > n+1 Basisvektoren von B berechnen,
> > > > also [mm]D(x^i)=...[/mm] für i=0,1,...,n.
> >
> > Also die Bilder der Basisvektoren wären dann ja:
> > [mm]D(x^i)=i*x^i-1[/mm] oder?
>
> Ja, mache aber geschweifte Klammern um die Exponenten (wenn
> sie länger als 1 Zeichen sind), also [mm][code]x^{i-1}[/code][/mm]
> für [mm]x^{i-1}[/mm]
>
> > Aber ich weiß nicht genau, wie ich diese jetzt als
> > Koordinatenvektoren schreiben soll!
> > Ich muss die Bilder der Basen ja als lin.komb der Basen
> > darstellen oder?
>
> Jo
>
> > Also:
> > [mm]D(x^0)=0=0*x^0+0*x^1+...+0*x^n[/mm]
> > [mm]D(x^1)=1=1*x^0+0*x^1+...+0*x^n[/mm]
> > [mm]D(x^2)=2x=0*x^0+2*x^1+...+0*x^n[/mm]
> > .
> > .
> > .
> > [mm]D(x^n)=nx^{n-1}=0*x^0+0*x^1+...+n*x^{n-1}+0*x^n[/mm]
> >
> > Stimmt das so weit?
> >
> > > > Schreib sie dann als Koordinatenvektoren bzgl B und
> > > stopfe
> > > > diese als Spalten in eine Matrix.
>
> Nun mache mal das, was Angela hier vorschlägt, du bist
> beinahe fertig!
>
> Welches Format hat die entstehende Matrix?
Die Matrix müsste dann ja das Format $n [mm] \times [/mm] n+1$ haben.
Und die Matrix wäre dann folgende?
[mm] $A=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & ... & 0 & 0 \\ . & . & . & . & ... & . & . \\ . & . & . & . & ... & . & . \\ . & . & . & . & ... & . & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & n-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 }
[/mm]
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> Gruß
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> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der 1. Basisvektor [mm] x^0 [/mm] wird auf 0 abgebildet, also ist die erste Spalte 0
die letze Spalte dagegen ist das Bild des n ten EV also von [mm] x^n
[/mm]
also nicht nur 0 en [mm] x^n [/mm] wird doch auf [mm] n*x^{n-1} =n*e_{n-1} [/mm] abgebildet, also ist deine letzte Spalte falsch
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Fr 13.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Stimmt :)
Ja, das war eine Denkfehler meinerseits ;)
Vielen Dank für die Hilfe
LG
Lucas
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