lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 02.02.2006 | | Autor: | alexus |
| Aufgabe | Die zwei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} \in [/mm] V³ seien linear abhängig. Sind dann die Vektoren [mm] \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, \vec{a} \times\vec{b}
[/mm]
ebenfalls linear abhängig. |
HI
Also ich hab irgendwie keinen gescheiten Ansatz. Hab mir halt mal die Vektoren koordinatenweise hingeschrieben, aber mir fällt nichts ein, wie ich nun die lineare Abhängigkeit beweisen bzw. widerlegen soll.
alexus
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Hallo und guten Tag,
es ist ja fuer u=a+b, v=a-b dann [mm] a=\frac{1}{2}(u+v) [/mm] und [mm] b=\frac{1}{2}(a-v), [/mm] so daß
also bereits u,v linear abhaengig sind (eine endliche Menge X von Vektoren heisst ja lin. abhaengig gdw. es Zahlen [mm] \lambda_x, x\in [/mm] X (nicht alle = 0) gibt mit
[mm] \sum_{x\in X}\lambda_x\cdot [/mm] x=0 ).
Andererseits gilt - vielleicht interessiert Dich das ja eigentlich -
[mm] a\times [/mm] b nicht in dem von a und b erzeugten Vektorraum enthalten.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Do 02.02.2006 | | Autor: | alexus |
Hi
Danke für die schnelle Antwort, ich seh nur nicht wie du aus
a=1/2(u+v) und b=1/2(u-v) direkt siehst, dass u und v linear abhängig sind.
alexus
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Hallo!
Ich würde einen etwas anderen Ansatz wählen: Da $a$ und $b$ linear abhängig, gibt es ein [mm] $\lambda\in K\setminus\{0\}$ [/mm] ($K$ ist der Körper, über dem $V$ ein Vektorraum ist), so dass [mm] $b=\lambda [/mm] a$. Dann ist [mm] $a+b=(1+\lambda)a$ [/mm] und [mm] $a-b=(1-\lambda)a$.
[/mm]
Siehst du nun die lineare Abhängigkeit?
Gruß, banachella
PS: Wenn $a,b$ linear abhängig sind, dann ist [mm] $a\times b=0\in V^3$...
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 02.02.2006 | | Autor: | alexus |
Also so ganz verstanden hab ichs noch nich. Dass man [mm] a+b=(1+\lambda)a [/mm] und [mm] a-b=(1-\lambda)a [/mm] schreiben kann is mir klar. Wenn a+b und a-b linear abhängig wären, dann müsste ja [mm] (1+\lambda)a*x=(1-\lambda)a [/mm] sein, wobei x aus dem Körper und nicht 0 ist. Wenn ich aber jetzt für x=-1 einsetze stimmts nicht, also seh ich auch keine lineare Abhängigkeit. Irgendwie komm ich mir grad zu blöd vor.
alexus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 02.02.2006 | | Autor: | dande |
mooment...
komplanar sind doch lediglich a, b, a-b und a+b. a+b und a-b können nur dann linear abhängig sein, wenn sie kollinear sind, das ist aber gar nicht vorgesehen, oder hab ich jetzt die Aufgabe falsch verstanden?
Also, a-b und a+b stehen in einer Ebene mit a und b. a [mm] \times [/mm] b ist senkrecht, d.h. linear unabhängig von a und b, also auch von ihrer Summe und ihrer Differenz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 02.02.2006 | | Autor: | alexus |
Jo, so erscheints mir eigentlich auch logisch, wie es dande meint.
alexus
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Hallo!
> Jo, so erscheints mir eigentlich auch logisch, wie es dande
> meint.
Das ist bedauerlich, weil falsch.
Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass es Elemente [mm] $c_1,c_2\in [/mm] K$ gibt mit [mm] $c_1$ [/mm] oder [mm] $c_2\ne [/mm] 0$, so dass $c_1a+c_2b=0$.
Wenn $a=-b$, dann ist $a+b=0$ und somit $a-b$ und $a+b$ linear abhängig, weil $1*(a+b)+0*(a-b)=0$.
Wenn $a=b$, dann ist $a-b=0$ und somit $a-b$ und $a+b$ linear abhängig.
In allen anderen Fällen ist [mm] $\lambda\not\in\{-1;1\}$, [/mm] somit ist [mm] $a+b=(1+\lambda)a=\bruch{1+\lambda}{1-\lambda}*(1-\lambda) a=\bruch{1+\lambda}{1-\lambda}(a-b)$.
[/mm]
Und es gilt [mm] $a\times [/mm] b=0$ ...
Insgesamt bedeutet das: [mm] $a+b,a-b,a\times [/mm] b$ liegen alle auf derselben Geraden...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Do 02.02.2006 | | Autor: | alexus |
Vielen Dank banachella, das war jetzt die Erklärung, die ich brauchte. Bin einfach nich draufgekommen, [mm] 1+\lambda [/mm] in [mm] \bruch{1+\lambda }{1-\lambda }*(1-\lambda) [/mm] zu zerlegen.
alexus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 02.02.2006 | | Autor: | dande |
ok, hatte Voraussetzung "linear abhängig" unterwegs verloren... sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 04.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Die zwei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b} \in[/mm] V³ seien linear
> abhängig. Sind dann die Vektoren [mm]\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, \vec{a} \times\vec{b}[/mm]
Andere Möglichkeit: da das Kreuzprodukt schiefsymmetrisch ist und [m]a=\lambda*b[/m] gilt, so ergbit sich [m]\lambda*b \times b= - \lambda*b \times b[/m], also das Kreuzprodukt ist 0.
SEcki
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