lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 07.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | | Zwei zu verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] einer quadratischen Matrix A gehörige Eigenvektoren x1 und x2 sind linear unabhängig. |
Hi nochmal.
Die Lösung habe ich hier, verstehe sie nur nicht.
Vielleicht gibt es jemanden, der es mir kurz schildern könnte.
Annahme: [mm] \vec{x1} [/mm] , [mm] \vec{x2} [/mm] linear abhängig.
=> [mm] \vec{x1} [/mm] = [mm] \mu [/mm] * [mm] \vec{x2} [/mm] mit [mm] \mu [/mm] [mm] \IR\setminus{0}
[/mm]
der schritt ist klar. da er die lineare abhängigkeit zeigt.
[mm] A*\vec{x1} [/mm] = [mm] \mu*A*\vec{x2}
[/mm]
auch klar, multipliziere ich die Matrix mit [mm] \vec{x1} [/mm] erhalte ich ein vielfaches [mm] mit\vec{x2} [/mm] mal der matrix
=> [mm] \lambda_{x1} [/mm] * [mm] \vec{x1} [/mm] = [mm] \mu \lambda_{x2} [/mm] * [mm] \vec{x2}
[/mm]
das stimmt, da die Eigenwerte ja von der selben matrix sind, somit ebenfalls linear abhängig sein müssen.
=> [mm] \vec{x1} [/mm] = [mm] \bruch{\mu*\lambda_{2}*\vec{x2}}{\lambda_{1}}
[/mm]
da wurde einfach durch [mm] \lamda_{1} [/mm] geteilt.
der folgende schritt ist mir jedoch unklar, und zwar:
[mm] \mu [/mm] = [mm] \mu \bruch{lambda_{2}}{\lambda_{1}}
[/mm]
=> [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda{2} [/mm] was ja ein widerspruch ist, da es keine lineare abhängigkeit gibt.
Danke schonmal
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 07.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
Oh ich sehe grade,
da [mm] \vec{x1} [/mm] = [mm] \mu \vec{x2} [/mm] gilt
gilt natürlich [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{vec{x1}}{\vec{x2}}
[/mm]
dann würde es gehen.
Schon wieder so viel zu sehen. ohje...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Di 07.02.2006 | | Autor: | Shaya |
> => [mm]\vec{x1}[/mm] = [mm]\mu[/mm] * [mm]\vec{x2}[/mm] mit [mm]\mu[/mm] [mm]\IR\setminus{0}[/mm]
stell das nach [mm] \mu
[/mm]
um.
dann teile bei deinem letzten klaren schritt durch $ [mm] \vec{ x_{2}} [/mm] $ und ersetze die linke seite duch das nach [mm] \mu [/mm] umgestellte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Di 07.02.2006 | | Autor: | FlorianJ |
ja okay, danke trotzdem :)
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