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lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Sa 16.04.2011
Autor: Pia90

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder ein Problem. Diesmal betrifft es die lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit.
Mit Vektoren ist das noch nicht das Problem, jedoch habe ich nun die drei Fkt f(t)= [mm] e^{-1}, [/mm] g(t)= [mm] e^{3t} [/mm] und h(t)= [mm] e^{-2t} [/mm] gegeben und soll angeben, ob diese drei Funktionen linear abhängig über [mm] \IZ [/mm] bzw. über [mm] \IR [/mm] sind.
Normalerweise hätte ich jetzt aufgestellt [mm] r_1*f(t)+r_2*g(t)+ r_3*h(t) [/mm] =0 und das nach [mm] r_1,r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] aufgelöst. Das geht aber ja nun nicht so einfach...
Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und damit dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?

Desweiteren verstehe ich noch nicht so ganz, was die lin. Abhängigkeit über [mm] \IZ [/mm] bzw. über [mm] \IR [/mm] bedeutet... Bedeutet lin. abh. über [mm] \IZ, [/mm] dass es für [mm] r_1,r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] Werte aus den ganzen Zahlen gibt? Oder hat das damit nichts zu tun?

LG Pia

        
Bezug
lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Sa 16.04.2011
Autor: meili

Hallo Pia,

> Hallo zusammen,
>
> ich habe mal wieder ein Problem. Diesmal betrifft es die
> lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit.
> Mit Vektoren ist das noch nicht das Problem, jedoch habe
> ich nun die drei Fkt f(t)= [mm]e^{-1},[/mm] g(t)= [mm]e^{3t}[/mm] und h(t)=
> [mm]e^{-2t}[/mm] gegeben und soll angeben, ob diese drei Funktionen
> linear abhängig über [mm]\IZ[/mm] bzw. über [mm]\IR[/mm] sind.
> Normalerweise hätte ich jetzt aufgestellt
> [mm]r_1*f(t)+r_2*g(t)+ r_3*h(t)[/mm] =0 und das nach [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm]
> aufgelöst. Das geht aber ja nun nicht so einfach...

[ok]
Ja, so geht das, auch wenn es nicht so einfach aufzulösen ist.

>  Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und damit
> dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum
> Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?

Nein. Es muss für alle t gelten. Die einzelnen Funktionen werden punktweise (also jede Funktion mit demselben t) addiert.

>  
> Desweiteren verstehe ich noch nicht so ganz, was die lin.
> Abhängigkeit über [mm]\IZ[/mm] bzw. über [mm]\IR[/mm] bedeutet... Bedeutet
> lin. abh. über [mm]\IZ,[/mm] dass es für [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] Werte aus
> den ganzen Zahlen gibt?

[ok]
Genau. Bei linear abhängig über [mm]\IZ[/mm], die  [mm]r_1,r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] dürfen nur Werte aus [mm] $\IZ$ [/mm] sein
>Oder hat das damit nichts zu tun?

>  
> LG Pia

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 16.04.2011
Autor: Pia90

Erstmal vielen Dank für deine Antwort!

>  >  Könnte ich für t verschiedene Werte einsetzen und
> damit
> > dann ein lineares Gleichungssystem aufstellen? Also zum
> > Beispiel t=0, t=1 und t=2? Macht das Sinn?
>  Nein. Es muss für alle t gelten. Die einzelnen Funktionen
> werden punktweise (also jede Funktion mit demselben t)
> addiert.

Das verstehe ich nicht so ganz...
Ich meinte ursprünglich, dass ich einmal eine Gleichung für t=0 aufstelle, also
[mm] r_1+r_2+r_3=0 [/mm]
Dann für t=1: [mm] r_1 [/mm] * [mm] e^{-1} [/mm] + [mm] r_2 *e^{3} [/mm] + [mm] r_3 [/mm] * e^-2
und das auch noch für t=2 und aus den 3 gleichungen dann ein gleichungssystem aufstelle und löse...
Die Idee ist also falsch?

Ich wüsste nicht, wie ich anders vorgehen könnte, um nach [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] auflösen zu können...

Bezug
                        
Bezug
lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 16.04.2011
Autor: angela.h.b.


> Das verstehe ich nicht so ganz...
> Ich meinte ursprünglich, dass ich einmal eine Gleichung
> für t=0 aufstelle, also
>  [mm]r_1+r_2+r_3=0[/mm]
>  Dann für t=1: [mm]r_1[/mm] * [mm]e^{-1}[/mm] + [mm]r_2 *e^{3}[/mm] + [mm]r_3[/mm] * e^-2
>  und das auch noch für t=2 und aus den 3 gleichungen dann
> ein gleichungssystem aufstelle und löse...
>  Die Idee ist also falsch?

Hallo,

nochmal der Gedanke:

Du sollst überprüfen, ob die drei Funktionen f,g,h linear unabhängig über [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IZ [/mm] sind.

Dazu mußt Du prüfen, ob aus r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion folgt, daß [mm] r_1=r_2=r_3=0. [/mm]

Schauen wir die Gleichung r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion einmal genauer an.
Was haben wir hier? Die Gleichheit zweier Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.

Also folgt ausr_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion:

es ist  (r_1f+r_2g+r_3h=Nullfunktion)(t)=0 für alle t aus dem Definitionsbereich.

<==> r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 für alle t.

Hiermit sind wir bei Deiner Idee angekommen:

wenn Du jetzt drei Werte für t findest, für welche aus dem entstehenden Gleichungssystem folgt, daß  [mm] r_1=r_2=r_3=0, [/mm] so hast Du die lineare Unabhängigkeit der Funktionen f,g,h nachgewiesen.

Wie aber weist man die Abhängigkeit dreier Funktionen nach?
Auchtung: es reicht hierfür nicht, daß Du drei Funktionswerte findest, für die das GS eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung hast.
Sondern: Du mußt zeigen, daß Du [mm] r_i [/mm] findest, von denen mindestens eins von 0 verschieden ist und für welche
r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 für alle t gilt.

Versuch nun mal, nachzuweisen, was Du nachweisen möchtest.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Mo 18.04.2011
Autor: Pia90

Ich muss zugeben, ich hänge immer noch fest und komm einfach auf keinen grünen Zweig...
r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0... weder f(t), g(t) noch h(t) kann ja 0 werden...
verzweifelt wie ich bin, hab ich meinen Taschenrechner zu Hilfe genommen... laut diesem müsste r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 sein, wenn
[mm] r_1 [/mm] = [mm] -e^{-t}(r_2 e^{5t}+r_3), [/mm] und [mm] r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] können jeweils gewählt werden...  Aber wie das so ist, ich hab keine Ahnung, wie ich darauf kommen kann... :/



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lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:15 Di 19.04.2011
Autor: meili

Hallo Pia,

> Ich muss zugeben, ich hänge immer noch fest und komm
> einfach auf keinen grünen Zweig...
>  r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0... weder f(t), g(t) noch h(t)
> kann ja 0 werden...

Ja, genau.
Das ist der Schlüssel zur Lösung der Gleichung.
Da sie weder Null noch negativ werden können,
müssen   [mm]r_1[/mm] = [mm]r_2[/mm] = [mm]r_3[/mm] = 0 sein,
damit die Gleichung erfüllt ist.

>  verzweifelt wie ich bin, hab ich meinen Taschenrechner zu
> Hilfe genommen... laut diesem müsste
> r_1f(t)+r_2g(t)+r_3h(t)=0 sein, wenn
>  [mm]r_1[/mm] = [mm]-e^{-t}(r_2 e^{5t}+r_3),[/mm] und [mm]r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] können
> jeweils gewählt werden...  Aber wie das so ist, ich hab
> keine Ahnung, wie ich darauf kommen kann... :/
>  
>  

Taschenrechner können bei e-Funktionen arg trügen,
denn irgendwann ist die kleinste positive von Null verschiedene Zahl
beim Taschenrechner erreicht.
Und was macht er dann? Einfach mit Null weiterrechnen?

Gruß
meili

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lineare Abhängigkeit bei Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Do 21.04.2011
Autor: Pia90

Danke!

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