lineare Abhängigkeit von 2 Vek < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab diese Aufgabe gestellt bekommen und soll sie nun ausarbeiten, jedoch komm ich nicht wirklich weiter, da ich nicht genau weiss was ich machen soll...
Hier der original Wortlaut der Fragestellung:
" Aufgabe: Seien die Vektoren a=[a1,a2], b=[b1,b2] [mm] \in [/mm] von K² gegeben. Dann sind die Vektoren a,b linear abhängig (d.h. es gibt [mm] (\lambda1, \lambda2) \not= [/mm] (0,0) mit [mm] a*\lambda1+b*\lambda2=0 [/mm] ) genau dann, wenn es eine lineare Gleichung u1*x1+u2*x2=0 mit (u1,u2) [mm] \not= [/mm] (0,0) gibt, die von a,b erfüllt wird. "
Mein Ansatz: Ich stelle die Folgenden Gleichungen auf:
aus [mm] a*\lambda1+b*\lambda2=0 [/mm] folgt:
[mm] a1*\lambda1+b1*\lambda2=0 [/mm] -> [mm] a1=b1*(-\lambda2*\lambda1^{-1})
[/mm]
[mm] a2*\lambda1+b2*\lambda2=0 [/mm] -> [mm] a2=b2*(-\lambda2*\lambda1^{-1})
[/mm]
wobei [mm] \gamma [/mm] := [mm] -\lambda2*\lambda1^{-1}
[/mm]
aus u1*x1+u2*x2=0 folgt:
u1*a1=-u2*a2 -> a1=(-u1^(-1)*u2)*a2
u1*b1=-u2*b2 -> b1=(-u1^(-1)*u2)*b2
wobei [mm] \delta [/mm] := -u1^(-1)*u2
und ich glaube nun dass ich zeigen muss:
wenn ich folgende Matrix betrachte:
[mm] \pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 }
[/mm]
dass wenn 1 Zeile mit [mm] "\delta" [/mm] in zweite zeile übergeht, dass 1.Spalte in zweite mit [mm] \gamma [/mm] übergeht und umgekehrt!
Bin aber nicht ganz sicher was die Fragestellung verlangt und wenn mein Ansatz passt wie ich das weiter durchführe!
Danke für euer Bemühen, Greets Chris!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich mache dir mal [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] vor.
Im Falle $a=0=b$ ist die Aussage trivial (wähle [mm] $u_1=1=u_2$). [/mm] Ist [mm] $a=(a_1,a_2) \ne [/mm] (0,0)$, so ist [mm] $b=(b_1,b_2)$ [/mm] notwendig ein Vielfaches von $a$, d.h. es gibt ein [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] mit
$b= [mm] \lambda [/mm] a$.
Nun ist die Gleichung
[mm] $u_1 \cdot x_1 [/mm] + [mm] u_2 \cdot x_2$
[/mm]
mit
[mm] $u_1:=-a_2$ [/mm] und [mm] $u_2:=a_1$
[/mm]
die gewünschte Gleichung, denn es gilt:
[mm] $u_1 \cdot a_1 [/mm] + [mm] u_2 \cdot a_2 [/mm] = [mm] -a_2\cdot a_1 [/mm] + [mm] a_1 \cdot a_2=0$
[/mm]
und
[mm] $u_1 \cdot b_1 [/mm] + [mm] u_2 \cdot b_2 [/mm] = [mm] -a_2\cdot \lambda \cdot a_1 [/mm] + [mm] a_1 \cdot \lambda \cdot a_2=0$.
[/mm]
Vielleicht kriegst du die Rückrichtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] ja jetzt selber hin? 
Liebe Grüße
Julius
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Servus,
werd mir deinen Lösungsvorschlag mal ansehen und versuchen nachzuvollziehen!
werd desweiteren in den nächsten Tagen auch kurz meinen Professor zu Rate ziehen und ihn bitten mir kurz zu erklären, was genau ich bei diesem Bsp machen muss!
Sobald ich mehr weiß und mir Gedanken über den Ansatz von Julius gemacht hab, werd ich mich wieder melden!
Danke, Greets Chris
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