lineare Beschränktheit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
Die Abbildung F: [mm] Ix\IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] heißt linear beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm] \to [0,\infty) [/mm] derart gibt, so dass
[mm] \parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel [/mm] Y [mm] \parallel+b(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I, Y [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
Was sagt mir das für ein Y? Gilt die lineare Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
DANKE!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mi 19.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
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> Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> derart gibt, so dass
> [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm] Y
> [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
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> Was sagt mir das für ein Y?
???? Obige Ungl. soll für alle x [mm] \in [/mm] I und alle Y [mm] \in \IR^n [/mm] gelten.
> Gilt die lineare
> Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des [mm] \IR^n.
[/mm]
FRED
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> DANKE!
>
> Gruß
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> > Hallo,
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> > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
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> > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > derart gibt, so dass
> > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm] Y
> > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> >
> > Was sagt mir das für ein Y?
>
> ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> gelten.
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> > Gilt die lineare
> > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
>
> ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> [mm]\IR^n.[/mm]
Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
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> FRED
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> > DANKE!
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> > Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mi 19.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
> > >
> > > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > > derart gibt, so dass
> > > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm] Y
> > > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> > >
> > > Was sagt mir das für ein Y?
> >
> > ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> > gelten.
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> > > Gilt die lineare
> > > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
> >
> > ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> > [mm]\IR^n.[/mm]
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> Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit
> automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
Nein. Nimm n=1 , [mm] I=\IR [/mm] und
[mm] F(x,y)=x^2.
[/mm]
F ist linear beschränkt (warum ?)
F ist nicht Lipschitzstetig (warum ?)
FRED
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> > FRED
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> > > DANKE!
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> > > Gruß
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> > > > Hallo,
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> > > > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
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> > > > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > > > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > > > derart gibt, so dass
> > > > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm] Y
> > > > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> > >
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> > > > Was sagt mir das für ein Y?
> > >
> > > ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> > > gelten.
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> > > > Gilt die lineare
> > > > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
> > >
> > > ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> > > [mm]\IR^n.[/mm]
> >
> > Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit
> > automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
>
> Nein. Nimm n=1 , [mm]I=\IR[/mm] und
>
> [mm]F(x,y)=x^2.[/mm]
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> F ist linear beschränkt (warum ?)
Da [mm] a(x)=x^2 [/mm] ist ?
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> F ist nicht Lipschitzstetig (warum ?)
Ist es nicht auf kompakten Intervallen Lipschitz-stetig?
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> FRED
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> > > FRED
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> > > > DANKE!
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> > > > Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
> > > > >
> > > > > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > > > > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > > > > derart gibt, so dass
> > > > > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm]
> Y
> > > > > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
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> > > > > Was sagt mir das für ein Y?
> > > >
> > > > ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> > > > gelten.
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> > > > > Gilt die lineare
> > > > > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
> > > >
> > > > ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> > > > [mm]\IR^n.[/mm]
> > >
> > > Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit
> > > automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
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> > Nein. Nimm n=1 , [mm]I=\IR[/mm] und
> >
> > [mm]F(x,y)=x^2.[/mm]
> >
> > F ist linear beschränkt (warum ?)
> Da [mm]a(x)=x^2[/mm] ist ?
Nein. [mm] a(x)\equiv [/mm] = und [mm] b(x)=x^2
[/mm]
> >
> > F ist nicht Lipschitzstetig (warum ?)
> Ist es nicht auf kompakten Intervallen Lipschitz-stetig?
Ist I ein kompaktes Intervall (beschränkt reicht auch), so ist [mm]F(x,y)=x^2[/mm] auf I x [mm] \IR [/mm] Lipschitzstetig.
(warum ?)
Ist I aber unbeschränkt, so ist F auf auf I x [mm] \IR [/mm] nicht Lipschitzstetig.
(warum ?)
FRED
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> > FRED
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> > > > FRED
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> > > > > DANKE!
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> > > > > Gruß
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> > > > > > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
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> > > > > > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > > > > > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > > > > > derart gibt, so dass
> > > > > > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm]
> > Y
> > > > > > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
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> > > > > > Was sagt mir das für ein Y?
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> > > > > ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> > > > > gelten.
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> > > > > > Gilt die lineare
> > > > > > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
> > > > >
> > > > > ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> > > > > [mm]\IR^n.[/mm]
> > > >
> > > > Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit
> > > > automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
> > >
> > > Nein. Nimm n=1 , [mm]I=\IR[/mm] und
> > >
> > > [mm]F(x,y)=x^2.[/mm]
> > >
> > > F ist linear beschränkt (warum ?)
> > Da [mm]a(x)=x^2[/mm] ist ?
>
> Nein. [mm]a(x)\equiv[/mm] = und [mm]b(x)=x^2[/mm]
>
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> > >
> > > F ist nicht Lipschitzstetig (warum ?)
> > Ist es nicht auf kompakten Intervallen
> Lipschitz-stetig?
>
> Ist I ein kompaktes Intervall (beschränkt reicht auch), so
> ist [mm]F(x,y)=x^2[/mm] auf I x [mm]\IR[/mm] Lipschitzstetig.
>
> (warum ?)
Da [mm] x^2 [/mm] auf einem beschränkten Intervall ein Maximum annimmt?
>
> Ist I aber unbeschränkt, so ist F auf auf I x [mm]\IR[/mm] nicht
> Lipschitzstetig.
>
> (warum ?)
Da man hier das Maximum nicht bestimmen kann und somit die Lipschitz-Konstante keine Konstante wäre. ?
>
> FRED
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> > > FRED
> > > >
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> > > > > FRED
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> > > > > > DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > ich habe eine Frage zur linearen Beschränktheit:
> > > > > > >
> > > > > > > Die Abbildung F: [mm]Ix\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] heißt linear
> > > > > > > beschränkt, wenn es stetige Funktionen a,b: I [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> > > > > > > derart gibt, so dass
> > > > > > > [mm]\parallel F(x,Y)\parallel \le a(x)*\parallel[/mm]
> > > Y
> > > > > > > [mm]\parallel+b(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I, Y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
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> > > > > > > Was sagt mir das für ein Y?
> > > > > >
> > > > > > ???? Obige Ungl. soll für alle x [mm]\in[/mm] I und alle Y [mm]\in \IR^n[/mm]
> > > > > > gelten.
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> > > > > > > Gilt die lineare
> > > > > > > Beschränktheit automatisch, wenn Y Lipschitz-stetig ist?
> > > > > >
> > > > > > ????? Y ist keine Funktion, sondern ein Element des
> > > > > > [mm]\IR^n.[/mm]
> > > > >
> > > > > Sorry, ich meinte, ob die lineare Beschränktheit
> > > > > automatisch gilt, wenn F(x,Y) Lipschitz-stetig ist ?
> > > >
> > > > Nein. Nimm n=1 , [mm]I=\IR[/mm] und
> > > >
> > > > [mm]F(x,y)=x^2.[/mm]
> > > >
> > > > F ist linear beschränkt (warum ?)
> > > Da [mm]a(x)=x^2[/mm] ist ?
> >
> > Nein. [mm]a(x)\equiv[/mm] = und [mm]b(x)=x^2[/mm]
> >
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> > > >
> > > > F ist nicht Lipschitzstetig (warum ?)
> > > Ist es nicht auf kompakten Intervallen
> > Lipschitz-stetig?
> >
> > Ist I ein kompaktes Intervall (beschränkt reicht auch), so
> > ist [mm]F(x,y)=x^2[/mm] auf I x [mm]\IR[/mm] Lipschitzstetig.
> >
> > (warum ?)
> Da [mm]x^2[/mm] auf einem beschränkten Intervall ein Maximum
> annimmt?
Unfug ! Hat denn [mm] x^2 [/mm] auf (0,1) ein Maximum ?
Sei I beschränkt, es gibt also ein c>0 mit |x| [mm] \le [/mm] c für alle x in I.
Dann haben wir für (x,y),(a,b) [mm] \in [/mm] i x [mm] \IR:
[/mm]
$ |F(x,y)-F(a,b)|= [mm] |x^2-a^2|=|x+a|*|x-a| \le [/mm] (|x|+|a|)|x-a| [mm] \le [/mm] 2c|x-a|$
> >
> > Ist I aber unbeschränkt, so ist F auf auf I x [mm]\IR[/mm] nicht
> > Lipschitzstetig.
> >
> > (warum ?)
> Da man hier das Maximum nicht bestimmen kann und somit die
> Lipschitz-Konstante keine Konstante wäre. ?
Unfug !
Sei I unbeschränkt (etwa nach oben unbeschränkt, nach unten gehts genauso). Nimm mal an F sei auf I x [mm] \IR [/mm] Lip.- stetig. Dann gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
(*) [mm] |x^2-a^2| \le [/mm] L|x-a| für alle x,a [mm] \in [/mm] I.
Sind nun x,a [mm] \in [/mm] I und x [mm] \ne [/mm] a, so folgt aus (*):
(**) |x+a| [mm] \le [/mm] L
Ist nun x [mm] \in [/mm] I und x > 0, so wähle a=2x, so folgt aus (**):
3|x| [mm] \le [/mm] L.
Kann das für alle x [mm] \in [/mm] I mit x [mm] \ne [/mm] 0 richtig sein ? Nein ! Warum ?
FRED
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> > FRED
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> > > > FRED
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> > > > > > FRED
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> > > > > > > DANKE!
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> > > > > > > Gruß
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