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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Di 06.05.2014 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die lineare DGL
[mm] y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(\Omega x) + b_1 * cos(\Omega x) ( \Omega\ne 0) [/mm]
eine Lösung der Form
[mm] y_p(x) = x (k_0 * sin(\Omega x) + k_1 * cos(\Omega x)) [/mm]
besitzt, falls [mm] j\Omega [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DGL ist. Bestimmen Sie [mm] k_0 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] für eine solche Lösung. |
Hi, bitte schaut mal auf meine Rechnung, leider komme ich überhaupt nicht weiter und würde gern wissen ob man mit meinem Ansatz überhaupt weiter kommt und falls ja, wie :)
Siehe Anhang.
(Ich habe die gegebenen [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] usw. in [mm] A_1, B_1 [/mm] ... umbenannt)
Hinweis für Nicht-E-Techniker: j=i ;)
Mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo jayw,
> Zeigen Sie, dass die lineare DGL
> [mm]y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(x) + b_1 * cos(x) ( \Omega\ne 0)[/mm]
>
> eine Lösung der Form
> [mm]y_p(x) = x (k_0 * sin(x) + k_1 * cos(x))[/mm]
> besitzt, falls
> [mm]j\Omega[/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der
> DGL ist. Bestimmen Sie [mm]k_0[/mm] und [mm]k_1[/mm] für eine solche
> Lösung.
>
> Hi, bitte schaut mal auf meine Rechnung, leider komme ich
> überhaupt nicht weiter und würde gern wissen ob man mit
> meinem Ansatz überhaupt weiter kommt und falls ja, wie :)
Da [mm]j*\Omega[/mm] Lösung des charakteristischen Polynoms der DGL ist,
ist auch [mm]-j*\Omega[/mm] Lösung des charakteristischen Polynoms der DGL .
Damit lautet die homogene DGL:
[mm]y''+0*y'+\Omega^{2}*y=0[/mm]
Entsprechend die inhomogene DGL:
[mm]y''+0*y'+\Omega^{2}*y=b_0 * sin(x) + b_1 * cos(x)[/mm]
Jetzt setze den obigen Ansatz ein.
Dann vergleiche die Koeffizienten von [mm]\sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right), x*\sin\left(x\right), \ x* \cos\left(x\right)[/mm]
> Siehe Anhang.
> (Ich habe die gegebenen [mm]a_1[/mm] und [mm]b_1[/mm] usw. in [mm]A_1, B_1[/mm] ...
> umbenannt)
>
> Hinweis für Nicht-E-Techniker: j=i ;)
>
> Mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 06.05.2014 | | Autor: | jayw |
Danke! Guckst du nochmal drauf?
-> Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo jayw,
> Danke! Guckst du nochmal drauf?
>
Soweit alles ok.
Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.
> -> Anhang
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 07.05.2014 | | Autor: | jayw |
> Soweit alles ok.
> Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.
Für alle [mm] \Omega \ne [/mm] 0? Ich mag diese Beweise irgendwie nicht :)
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Hallo jayw,
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> > Soweit alles ok.
> > Bleibt nur die Frage, für welches [mm]}\Omega[/mm] dies gilt.
>
> Für alle [mm]\Omega \ne[/mm] 0? Ich mag diese Beweise irgendwie
> nicht :)
>
Ganz bestimmt nicht.
Die Störfunktion (rechte Seite der DGL) lautet [mm]b_{0}*\sin\left(x\right)+b_{1}*\cos\left(x\right)[/mm]
Nach Deiner Rechnung lautet die Störfunktion [mm]b_{0}*\sin\left(\blue{\Omega}x\right)+b_{1}*\cos\left(\blue{\Omega}x\right)[/mm]
Die zu behandelnde DGL lautet doch:
[mm]y''+\Omega^{2}*y=b_{0}*\sin\left(x\right)+b_{1}*\cos\left(x\right)[/mm]
Hier ist dann mit
[mm]y_p(x) = x (k_0 \cdot{} sin(x) + k_1 \cdot{} cos(x)) [/mm]
anzusetzen und dies in die DGL einzusetzen.
Durch Koeffitzientenvergleich ergeben sich einige Bedingungsgleichungen.
Daraus ist auch das [mm]\Omega[/mm] zu ermitteln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Do 08.05.2014 | | Autor: | jayw |
Ach verdammt, ich sehe gerade das der Formeleditor die Omegas unterschlagen hat. Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass die lineare DGL
[mm] y'' + a_1 * y' + a_0 * y = b_0 * sin(\Omega x) + b_1 * cos(\Omega x) ( \Omega\ne 0) [/mm]
eine Lösung der Form
[mm] y_p(x) = x (k_0 * sin(\Omega x) + k_1 * cos(\Omega x)) [/mm]
besitzt, falls [mm] j\Omega [/mm] eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DGL ist. Bestimmen Sie [mm] k_0 [/mm] und [mm] k_1 [/mm] für eine solche Lösung.
Passt das dafür?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Do 08.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja alles richtig
Gruß leduart
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