lineare Hülle ermitteln < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 14.01.2013 | | Autor: | aw91 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie span {a,b,c}, wobei a, b, und c die folgenden Vektoren sind:
[mm] a=\vektor{1 \\ -1\\ -1} b=\vektor{0 \\ 2\\ -2} [/mm] und [mm] c=\vektor{1 \\ 0\\ -2} [/mm] |
Hallo
ich bin mir jetzt aber nicht im klaren wie die Lösung aussehen soll. Ich kenne die Def für span also die Menge der Linearkombinationen. Aber ist eine Lösung nur die allgemeine Angabe der Menge oder kommt da ein Vektor raus?!? Es sollte ja eine Ebene oder eine Gerade oder sowas sein.
Soll ich da ein Lineares Gleichungssystem mit [mm] \lambda [/mm] (1) a + [mm] \lambda [/mm] (2) b + [mm] \lambda [/mm] (3) c =0 erstellen, aber dabei kommt ja auch nichts vernünftiges raus. Oder ist das womöglich schon die Lösung?!?
Vielen Dank für Eure hilfe jetzt schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Di 15.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo aw91!
> Ermitteln Sie span {a,b,c}, wobei a, b, und c die folgenden
> Vektoren sind:
> [mm]a=\vektor{1 \\
-1\\
-1} b=\vektor{0 \\
2\\
-2}[/mm] und
> [mm]c=\vektor{1 \\
0\\
-2}[/mm]
> Hallo
>
> ich bin mir jetzt aber nicht im klaren wie die Lösung
> aussehen soll. Ich kenne die Def für span also die Menge
> der Linearkombinationen. Aber ist eine Lösung nur die
> allgemeine Angabe der Menge oder kommt da ein Vektor
> raus?!? Es sollte ja eine Ebene oder eine Gerade oder sowas
> sein.
Ja, die Möglichkeiten sind: eine Gerade, eine Ebene oder der ganze [mm] $\mathbb R^3$.
[/mm]
Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann ist [mm] $\operatorname{span}(a,b,c)$ [/mm] der [mm] $\mathbb R^3$.
[/mm]
Sind zwei lin. abhängig, ist es eine Ebene, und wenn alle drei Vektoren lin. abhängig sind, ist es eine Gerade.
Finde als erstes heraus, welcher Fall vorliegt und stelle dann ggf. eine Geraden- oder Ebenengleichung auf.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 15.01.2013 | | Autor: | aw91 |
Hallo Fulla,
herzlichen Dank für diese Antwort. Jetzt weiß ich schon mal wie die Lösung von span{} aussehen muss.
Nach einigem rumprobieren bin ich wohl dazu gekommen das ich im LGS mit 0 als Lösungsvektor alle Koeffizienten verschwinden lassen konnte, bzw habe ich ja immer wenn nur noch ein Element übrig war mit 0 als Lösung die 0 in die Gleichung einsetzen können.
Und genau das, sollte dann ja die lineare Unabhängigkeit der Vektoren sein -> also [mm] \IR^3 [/mm] als Lösung. Oder bin ich da jetzt völlig schief?!?
Sorry fürs blöde Fragen, aber ich bin leider (noch) nicht so fit in Mathe...
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> Hallo Fulla,
>
> herzlichen Dank für diese Antwort. Jetzt weiß ich schon
> mal wie die Lösung von span{} aussehen muss.
> Nach einigem rumprobieren bin ich wohl dazu gekommen das
> ich im LGS mit 0 als Lösungsvektor alle Koeffizienten
> verschwinden lassen konnte, bzw habe ich ja immer wenn nur
> noch ein Element übrig war mit 0 als Lösung die 0 in die
> Gleichung einsetzen können.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist meist besser, wenn man hier eine Rechnung postet, statt eine Rechengeschichte zu erzählen. Hat man die Rechnung schwarz auf weiß vorliegen, kann man nämlich über deren Richtigkeit befinden.
Bei einer Erzählung kann man das oftmals nicht.
> Und genau das, sollte dann ja die lineare Unabhängigkeit
> der Vektoren sein -> also [mm]\IR^3[/mm] als Lösung. Oder bin ich
> da jetzt völlig schief?!?
Was auch immer Du getan hast: die drei Vektoren sind nicht linear unabhängig, spannen also nicht den [mm] \IR^3 [/mm] auf.
> Sorry fürs blöde Fragen, aber ich bin leider (noch)
> nicht so fit in Mathe...
Solange wir den Eindruck haben, daß Du nicht refexartig fragst, sondern auch eigenes Bemühen und Arbeiten damit verbunden ist, darfst Du nach Herzenslust die "blödsten" Fragen in großer Zahl stellen.
Bisher hast Du keine blöde Frage gestellt...
Zur Aufgabe:
Da a nicht der Nullvektor ist, ist a linear unabhängig.
Der aufgespannte Raum hat also mindestens die Dimension 1.
Betrachte a und b.
Wenn b keine Vielfaches von a ist, sind a und b linear unabhängig.
Dies ist hier offensichtlich der Fall.
Der aufgespannte Raum hat also mindestens die Dimension 2.
Betrachte nun a,b,c und prüfe, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind.
Sie sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
r*a+s*b+t*c=Nullvektor nur die eine einzige Lösung r=s=t=0 hat.
Gibt es irgendeine andere Lösung, sind sie abhängig...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 15.01.2013 | | Autor: | aw91 |
hi angela,
danke für den hinweis. werde in zukunft auch die rechnung mitliefern. dieses mal nicht mehr notwendig da sie unsinnig war.
das mit der abhängigkeit ist mir jetzt schon mehr klar - hab das mit der EINZIGEN lösung = 0 übersehen bzw. falsch aufgefasst. UND ich muss mir LGS grundsätzlich noch mal anschauen, hab scheinbar schon wieder alles vergessen.
nun gut - das lgs ist also mit unendlichen lösungen behaftet also muss ich eine ebenen gleichung aufstellen wenn ich das richtig verstanden habe. ich vermute mal mit allen gegebenen vektoren, oder?
ich denke die sieht dann so aus:
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-1 \\ 3 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
auf die vektoren bin ich gekommen in dem ich spitze - schaft gerechnet habe, ich hoffe das stimmt wenigstens?!?
und wenn ich es die definition von span richtig verstanden habe ist es ja die menge aller punkte auf der geraden, also egal was ich für r,s einsetze?
kann ich dann als ergebnis folgendes angeben, oder ist das falsch bzw. nicht ausreichend.
[mm] E:{\vec{x} \in \IR^3 | \vektor{x \\ y \\z}= \vektor{1 \\ -1 \\-1}+ \lambda \vektor{-1 \\ 3 \\ -1}+ \mu \vektor{0 \\ 1 \\-1}}
[/mm]
Ich muss gestehen ich glaube diese Beispiel ist unserem Prof. wohl aus versehen in die Übungen gerutscht, nachdem wir in der Vorlesung noch nicht über lineare Abhängigkeit gesprochen haben und auch die Lösungsmöglichkeiten wie von Fulla erklärt noch nicht erwähnt wurden. Ich hab das alles nur irgendwie aus den Büchern zusammengeklaubt. Daher strauchelt es mich bei dieser Aufgabe auch ziemlich... Aber irgendwie will ich es jetzt doch noch lösen 
Danke euch auch für Eure Hilfe!
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Hallo aw91,
> hi angela,
>
> danke für den hinweis. werde in zukunft auch die rechnung
> mitliefern. dieses mal nicht mehr notwendig da sie unsinnig
> war.
> das mit der abhängigkeit ist mir jetzt schon mehr klar -
> hab das mit der EINZIGEN lösung = 0 übersehen bzw. falsch
> aufgefasst. UND ich muss mir LGS grundsätzlich noch mal
> anschauen, hab scheinbar schon wieder alles vergessen.
> nun gut - das lgs ist also mit unendlichen lösungen
> behaftet also muss ich eine ebenen gleichung aufstellen
> wenn ich das richtig verstanden habe. ich vermute mal mit
> allen gegebenen vektoren, oder?
> ich denke die sieht dann so aus:
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\
-1 \\
-1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-1 \\
3 \\
-1}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\
1 \\
-1}[/mm]
Wie kommst Du darauf? Deine Erklärung "spitze-schaft"-Rechnung (was immer das sein mag), sagt mir nix ...
Du hast nachgerechnet, dass alle drei Vektoren zusammen linear abhängig sind?!
Man kann etwa den dritten als Linearkombination der ersten beiden darstellen.
Der dritte trägt also nix bei, er erzeugt nichts, was man mit den ersten beiden nicht auch erzeugen könnte.
Der Spann ist also die von den ersten beiden Vektoren erzeugte Lineare Hülle, dh. die Menge aller Linearkombinationen der ersten beiden Vektoren, also [mm]\operatorname{Span}\left(\vektor{1\\
-1\\
-1},\vektor{0\\
2\\
-2}\right)=\left\{\lambda\cdot{}\vektor{1\\
-1\\
-1}+\mu\cdot{}\vektor{0\\
2\\
-2}:\lambda,\mu\in\IR\right\}[/mm]
> auf die vektoren bin ich
> gekommen in dem ich spitze - schaft gerechnet habe, ich
> hoffe das stimmt wenigstens?!?
> und wenn ich es die definition von span richtig verstanden
> habe ist es ja die menge aller punkte auf der geraden, also
> egal was ich für r,s einsetze?
Klemmt Deine Shift-Taste oder wieso schreibst Du fast alles klein?!
> kann ich dann als ergebnis folgendes angeben, oder ist das
> falsch bzw. nicht ausreichend.
> [mm]E:{\vec{x} \in \IR^3 | \vektor{x \\
y \\
z}= \vektor{1 \\
-1 \\
-1}+ \lambda \vektor{-1 \\
3 \\
-1}+ \mu \vektor{0 \\
1 \\
-1}}[/mm]
>
>
> Ich muss gestehen ich glaube diese Beispiel ist unserem
> Prof. wohl aus versehen in die Übungen gerutscht, nachdem
> wir in der Vorlesung noch nicht über lineare Abhängigkeit
> gesprochen haben und auch die Lösungsmöglichkeiten wie
> von Fulla erklärt noch nicht erwähnt wurden. Ich hab das
> alles nur irgendwie aus den Büchern zusammengeklaubt.
> Daher strauchelt es mich bei dieser Aufgabe auch
> ziemlich... Aber irgendwie will ich es jetzt doch noch
> lösen
> Danke euch auch für Eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 15.01.2013 | | Autor: | aw91 |
Hallo
So ich glaube ich hab jetzt im Großen und Ganzen verstanden was zu tun ist. Morgen haben wir eh noch mal eine Übung. Werd mich aber noch ein bisschen damit auseinander setzen müssen. Danke euch allen.
Spitze - Schaft ist die Subtraktion von den Vektoren, also den einen Vektor - dem Vektor von dem aus wir die gerade erzeugen (So genau kann ich das jetzt wohl nicht erklären). Wir haben das in E-Technik beim elektrischen Feld einfach mal so gelernt. Ist wohl eher ein dilettantischer Ausdruck, weiß aber nicht wie es richtig heißt.
Das Shift-Tasten Problem habe ich beheben können, die geht jetzt wieder 
Danke
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