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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 23.06.2009 | | Autor: | mathe.fr |
| Aufgabe | In einer Großküche soll ein Koch aus drei Zutaten Z1, Z2 und Z3 genau 15 kg einer neuen Nachspeise herstellen. Dabei stehen ihm von Z1 nur 5 kg und von Z2 nur 6 kg zur Verfügung. In der Nachspeise sollen mindestens 8 kg der dritten Zutat Z3 enthalten sein, die unbegrenzt vorhanden ist. Die drei Zutaten enthalten einen gewissen Anteil Kohlenhydrate, gemessen in g/kg. Insgesamt dürfen in den 15 kg der herzustellenden Nachspeise nicht mehr als 240 g Kohlenhydrate vorhanden sein. Die folgende Tabelle enthält für jede Zutat den Anteil an Kohlenhydraten in g/kg sowie den Preis in Euro/kg:
Z1 Z2 Z3
Anteil Kohlenhydrate 25 20 10
Preis 7 8 11
Stellen Sie das lineare Optimierungsproblem auf (also Nebenbedingungen und Zielfunktion). Bestimmen Sie mit Hilfe der graphischen Lösungsmethode: Wie viel von jeder Zutat muss der Koch für die Herstellung der geforderten Menge der Nachspeise verwenden, damit er minimale Kosten hat? Wie hoch sind diese Kosten?
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Hallo, ich verstehe nicht wie ich den Teil mit den Kohlenhydraten einbringen soll. Zunächst denke ich es sind zeit Teilaufgaben, wobei die Kosten im ersten Teil wohl keine Rolle spielen (oder?), sondern man eher das optimale "Rezept" für die Nachspeise haben möchte.
Mein Ansatz:
Variablen:
z: Zusammenstellung des Gerichtes
x1: Zutat Z1
x2: Zutat Z2
x3: Zutat Z3
Zielfunktion:
x1 + x2 + x3 = 15 kg(wobei ich hier schon unsicher bin,da ein Optimierungsproblem doch immer zu max. oder min. geht?)
Restriktionen:
x1 [mm] \le [/mm] 5 kg
x2 [mm] \le [/mm] 6 kg
x3 [mm] \ge [/mm] 8 kg
nun bin ich mir unsicher wie es weiter geht... Es dürfen ja nicht mehr als 240 Kohlenhydrate vorhanden sein und dies muss ja ein Zusammenhang mit der Tabelle haben, jedoch weiß ich nicht wie ich dies berarbeite. Und dann gibt es noch den zweiten Teil mit den Kosten. Oder muss ich die Kosten bei dem davor schon betrachten?
Viele Grüße und Danke!
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Hallo mathe.fr,
> In einer Großküche soll ein Koch aus drei Zutaten Z1, Z2
> und Z3 genau 15 kg einer neuen Nachspeise herstellen. Dabei
> stehen ihm von Z1 nur 5 kg und von Z2 nur 6 kg zur
> Verfügung. In der Nachspeise sollen mindestens 8 kg der
> dritten Zutat Z3 enthalten sein, die unbegrenzt vorhanden
> ist. Die drei Zutaten enthalten einen gewissen Anteil
> Kohlenhydrate, gemessen in g/kg. Insgesamt dürfen in den 15
> kg der herzustellenden Nachspeise nicht mehr als 240 g
> Kohlenhydrate vorhanden sein. Die folgende Tabelle enthält
> für jede Zutat den Anteil an Kohlenhydraten in g/kg sowie
> den Preis in Euro/kg:
> Z1 Z2 Z3
> Anteil Kohlenhydrate 25 20 10
> Preis 7 8 11
>
> Stellen Sie das lineare Optimierungsproblem auf (also
> Nebenbedingungen und Zielfunktion). Bestimmen Sie mit Hilfe
> der graphischen Lösungsmethode: Wie viel von jeder Zutat
> muss der Koch für die Herstellung der geforderten Menge der
> Nachspeise verwenden, damit er minimale Kosten hat? Wie
> hoch sind diese Kosten?
>
> Hallo, ich verstehe nicht wie ich den Teil mit den
> Kohlenhydraten einbringen soll. Zunächst denke ich es sind
> zeit Teilaufgaben, wobei die Kosten im ersten Teil wohl
> keine Rolle spielen (oder?), sondern man eher das optimale
> "Rezept" für die Nachspeise haben möchte.
>
> Mein Ansatz:
> Variablen:
> z: Zusammenstellung des Gerichtes
> x1: Zutat Z1
> x2: Zutat Z2
> x3: Zutat Z3
>
> Zielfunktion:
> x1 + x2 + x3 = 15 kg(wobei ich hier schon unsicher bin,da
> ein Optimierungsproblem doch immer zu max. oder min.
> geht?)
Dies ist nicht die Zielfunktion, sondern eine weitere
Restriktion, die dir erlaubt, z.B. die Variable x3 aus
den Rechnungen zu eliminieren. Nachher hast du
nur noch ein Problem mit den 2 Variablen x1 und x2 !
> Restriktionen:
> x1 [mm]\le[/mm] 5 kg ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x2 [mm]\le[/mm] 6 kg
> x3 [mm]\ge[/mm] 8 kg
> nun bin ich mir unsicher wie es weiter geht... Es dürfen ja
> nicht mehr als 240 Kohlenhydrate vorhanden sein und dies
> muss ja ein Zusammenhang mit der Tabelle haben, jedoch weiß
> ich nicht wie ich dies bearbeite.
Daraus ergibt sich eine weitere Restriktion:
[mm] x1*25+......+......\le [/mm] .....
> Und dann gibt es noch den zweiten Teil mit den Kosten.
> Oder muss ich die Kosten bei dem davor schon betrachten?
Die Kosten bilden die zu minimierende Zielgröße,
also
K=7*x1+......+...... ----> Minimum
Nebenbei: ich frage mich, welche Art von "Nachspeise"
fast ohne Kohlehydrate hier geplant ist. Alle süßen Nach-
speisen scheiden praktisch aus, also ist es möglicher-
weise ein Ochsenmaulsalat mit Gurken und Speck ...
(guten Appetit allerseits 
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mi 24.06.2009 | | Autor: | mathe.fr |
Hallo und danke dafür.
Ich habe eine kurze Frage.
Da ja das mit den Kohlenhydraten jeweils g/kg ist muss ich dann hinschreiben:
25x1 + 20x2 + 10 x3 [mm] \le [/mm] 240/ 15 was dann 16 sein würde. Bin mir wegen den Einheiten nicht sicher. Aber die Anteile sind ja jeweils für ein kg und die 240 wären ja dann pro 15 kg. Oder muss ich jeweils mal die 15 kg rechnen auf der linken seite?
Viele Grüße!
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> Hallo und danke dafür.
> Ich habe eine kurze Frage.
> Da ja das mit den Kohlenhydraten jeweils g/kg ist muss ich
> dann hinschreiben:
> 25x1 + 20x2 + 10 x3 [mm]\le[/mm] 240/ 15 was dann 16 sein würde.
> Bin mir wegen den Einheiten nicht sicher. Aber die Anteile
> sind ja jeweils für ein kg und die 240 wären ja dann pro 15
> kg. Oder muss ich jeweils mal die 15 kg rechnen auf der
> linken seite?
>
> Viele Grüße!
So wie die Aufgabe formuliert war (mit den lächerlich
geringen KH-Anteilen), muss es wohl schon lauten:
$\ [mm] 25*x_1 [/mm] + [mm] 20*x_2 [/mm] + [mm] 10*x_3\le240$
[/mm]
Andernfalls (wenn du rechts noch durch 15 teilst)
wären es ja noch homöopathischere KH-Dosen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Do 25.06.2009 | | Autor: | mathe.fr |
also ich gehe davon aus das ich das ganze zeichnerisch und per rechnung lösen soll.
ich hätte jetzt
Z:K: 7x1 + 8x2 +11x3 --> min.
x1 [mm] \le [/mm] 5
x2 [mm] \le [/mm] 6
x2 [mm] \ge [/mm] 8
die letze ?? da ich die umrechnung nicht ganz weiß: vielleicht:
0,025x1 + 0,02x2 + 0,01x3 [mm] \le [/mm] 0,016
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 25.06.2009 | | Autor: | mathe.fr |
K: -4x1 - 3x2 + 165 --> min
x1 [mm] \le [/mm] 5
x2 [mm] \le [/mm] 6
x1 + x2 [mm] \ge [/mm] 7
15x1 + 10 x2 [mm] \le [/mm] 90
x1 [mm] \ge [/mm] 0
x2 [mm] \ge [/mm] 0
(x3 ersetzt durch 15 -x1 - x2)
ich habe das ganze gezeichnet aber wie kann ich den jetzt die kostenfuntion zeichnen. ich habe es immer durch den gradienten gemacht aber diesmal gibt es ja noch + 165 in der zielfunktion
und wie kann ich jetzt ablesen wieviel von jeder zutat genommen wird?
viele grüße
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> K: -4x1 - 3x2 + 165 --> min
>
Hallo ,
> x1 [mm]\le[/mm] 5
> x2 [mm]\le[/mm] 6
> x1 + x2 [mm]\ge[/mm] 7
> 15x1 + 10 x2 [mm]\le[/mm] 90
> x1 [mm]\ge[/mm] 0
> x2 [mm]\ge[/mm] 0
>
> (x3 ersetzt durch 15 -x1 - x2)
>
> ich habe das ganze gezeichnet aber wie kann ich den jetzt
> die kostenfuntion zeichnen. ich habe es immer durch den
> gradienten gemacht aber diesmal gibt es ja noch + 165 in
> der zielfunktion
Dieser Summand stört nicht.
> und wie kann ich jetzt ablesen wieviel von jeder zutat
> genommen wird?
Zeichne einfach einmal eine Linie der Form
K=konstanter Wert, welche das zulässige Gebiet
durchquert.
Verschiebe diese Linie dann parallel in die Richtung,
wo K abnimmt, bis sie an eine äusserste Ecke des
Gebiets kommt. Die Koordinaten jenes Eckpunkts
sind (x1/x2) des optimalen Punktes. Das zugehörige
x3 ergibt sich aus der bekannten Gleichung.
> viele grüße
Al-Chw.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
