lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Seien x,y,z,v [mm] \in [/mm] V.
(a) Wenn x,y,z linear unabhängig sind, sind dann auch x+v,y+v,z+v immer linear unabhängig?
(b) Wenn je zwei der drei Vektoren x,y,z linear unabhängig sind, sind dann auch x,y,z linear unabhängig? |
hallo!
ich weiß nicht so ganz, wie ich an die aufgabe rangehen muss, da die vektoren ja nicht genau gegeben sind, müsste man das alles ja allgemein beweisen, leider liegt genau da mein problem.
wie macht man das am besten?
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> Sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Seien x,y,z,v
> [mm]\in[/mm] V.
> (a) Wenn x,y,z linear unabhängig sind, sind dann auch
> x+v,y+v,z+v immer linear unabhängig?
> (b) Wenn je zwei der drei Vektoren x,y,z linear unabhängig
> sind, sind dann auch x,y,z linear unabhängig?
> hallo!
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> ich weiß nicht so ganz, wie ich an die aufgabe rangehen
> muss, da die vektoren ja nicht genau gegeben sind, müsste
> man das alles ja allgemein beweisen, leider liegt genau da
> mein problem.
> wie macht man das am besten?
Hallo,
Du mußt es nicht nur allgemein beweisen, sondern meist ist es sinnvoll zu wissen, was man beweisen möchte.
Sind die Aussagen wahr, brauchst Du einen Beweis.
Sind sie nicht wahr, brauchst Du ein Gegenbeispiel.
Die Vektoren sind zwar allgemin, was einen jedoch nicht daran hindern muß, dem ganzen Leben einzuhauchen.
a) Wenn x,y,z linear unabhängig sind, sind dann auch
> x+v,y+v,z+v immer linear unabhängig?
Hier hast Du also drei linear unabhängige Vektoren, zu welchen jeweils ein vierter, beliebiger, addiert wird.
Nimm Dir doch einfach mal drei unabhängige Vektoren, um Dir eine Vorstellung zu verschaffen, z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}. [/mm] Zudiesen soll ein anderer Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z}addiert [/mm] werden, zu betrachten sind also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0}+\vektor{x \\ y \\ z}, \vektor{0 \\ 1 \\0}+\vektor{x \\ y \\ z}, \vektor{0 \\ 0 \\1}+\vektor{x \\ y \\ z}. [/mm]
Kannst du es so hinkriegen, daß diese drei Vektoren linear abhängig sind?
Zu b) Hier kannst Du in der Gaußschen Zahlenebenen gucken.
Nimm z.B. [mm] x=\vektor{1 \\0}, y=\vektor{0 \\ 1 }
[/mm]
Jetzt such Dir einen dritten, so, daß die vektoren paarweise unabhängig sind, und entscheide, ob alle drei unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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zu b) damit sie paarweise unabhängig sind, musste bei x= {1,0} v:={0,1} sein, und das ist doch schon y, oder versteh ich da was falsch?
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> zu b) damit sie paarweise unabhängig sind, musste bei x=
> {1,0} v:={0,1} sein, und das ist doch schon y, oder versteh
> ich da was falsch?
Ja, da ist Dir etwas unklar.
Wenn Du [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] gegeben hast, gibt es sehr viele Möglichkeiten, diesem einen linear unabhängigen Vektor zur Seite zu stellen.
Es sind doch sämtliche Vektoren, die in eine andere richtung weisen von ihm linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mo 11.12.2006 | | Autor: | mischi |
Wie genau meinst du das mit den Vektoren, die in eine andere Richtung zeigen? Meinst du etwas wie (-1,0)? Aber das wäre ja dann -1*x...> > zu b) damit sie paarweise unabhängig sind, musste bei x=
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> Wie genau meinst du das mit den Vektoren, die in eine
> andere Richtung zeigen? Meinst du etwas wie (-1,0)?
Nein. Der ist ja nicht linear unabhängig von (1,0).
Aber es gibt doch soooooooooo viele Vektoren, die nicht in Richtung der Koordinatenachsen zeigen...
Gruß v. Angela
Aber
> das wäre ja dann -1*x...> > zu b) damit sie paarweise
> unabhängig sind, musste bei x=
>
????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 11.12.2006 | | Autor: | emty |
Hallo.
ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe.
zu b) Als Bsp. fällt mir da x= [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , y= [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] , z= [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ein. Da sind sie doch paarweise unabhängig aber x,y,z zusammen nicht?
zu a) Die Anregung von angela.h.b. sieht ja fast so aus, als ob sich da ein Gegenbeispiel finden ließe. Mir fällt da keins ein, was aber an mangelnder Kreativität liegen könnte.
Angenommen x+v,y+v,z+v sind dann also IMMER linear unabhängig, wie beweist man das denn nun?
mfg
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Hi, emty,
> ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe.
> zu b) Als Bsp. fällt mir da x= [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] , y=
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] , z= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ein. Da sind sie doch
> paarweise unabhängig aber x,y,z zusammen nicht?
Richtig!
> zu a) Die Anregung von angela.h.b. sieht ja fast so aus,
> als ob sich da ein Gegenbeispiel finden ließe. Mir fällt da
> keins ein, was aber an mangelnder Kreativität liegen
> könnte.
> Angenommen x+v,y+v,z+v sind dann also IMMER linear
> unabhängig, wie beweist man das denn nun?
Gegenbeispiel: Nimm halt einfach für v den Vektor -x, also: v = -x.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 11.12.2006 | | Autor: | emty |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Scheinbar ist meine Tagesform noch schlimmer als gefühlt, daher muss ich nochmal nachhaken. Dieses Bsp. habe ich sogar schon auf meinem Schmierzettel stehen. Ich erhalte dann ja mit v:= -x :
x+v= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] , y+v= [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , z+v= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Aber ich kann doch trotzdem keinen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen o0 ? Scheint aber daren zu liegen, dass ich gerade krank bin.
Bitte noch einen Tipp.
Vielen Dank
Gruß emty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 11.12.2006 | | Autor: | emty |
Hat keiner noch schnell nen Hinweis? Ich scheine ja nur irgendwie den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen.
Gruß emty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Di 12.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
lin unabh. heisst du kannst keine linerkomb aus den 3 bilden, die 0 ergibt ausser mit allen koeff. 0
hier r*(x-x)+0*(y-x)+0(z-x)=0 mit r [mm] \ne0!
[/mm]
wenn der 0 vektor dabei ist, sind deshal die Vektoren immer lin abh.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Di 12.12.2006 | | Autor: | emty |
OMG, wie blöd von mir. Ich war irgendwie nur auf den 2. Teil dieser Wikipedia-Definition fixiert.
In der linearen Algebra wird eine Menge von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß emty
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