lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Betrachte den reellen Vektorraum [mm] \mathcal{F} (\IR,\IR) [/mm] aller Funktionen
f: [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen [mm] f_{1},f_{2},f_{3} [/mm] linear unabhängig sind:
[mm] f_{1}:=1 [/mm] , [mm] f_{2}:=sin(x) f_{3}:=cos(x). [/mm] |
Hallo,
Frage1: über welchem Körper ist dieser Vektorraum?
Frage2: ich benutze das Kriterium für die lineare Unabhängigkeit:
[mm] v_{1}...v_{m} [/mm] sind genau dann linear unbhängig, wenn für alle Skalare
[mm] \lambda_{1},...\lambda{m} \in \IK [/mm] die folgende Implikation gilt:
[mm] \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{m}v_{m}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=...\lambda_{m}=0.
[/mm]
Wenn man dieses Kriterium auf die Aufgabe anwendet, dann:
[mm] f_{1}...f_{3} [/mm] sind genau dann linear unbhängig, wenn für alle Skalare
[mm] \lambda_{1},...\lambda{3} \in \IK [/mm] die folgende Implikation gilt:
[mm] \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.
[/mm]
Über einen Ansatz habe ich auf einer Seite im Internet gelesen, dass man 3 geeignete
x-Werte [mm] x_{1},x_{2},x_{3} \in \IR [/mm] wählen soll und jeweils einen dieser 3 x-Werte
in [mm] \lambda_{1}f_{1}(x)+\lambda_{2}f_{2}(x)+\lambda_{3}f_{3}(x)=0 [/mm] einsetzten soll.
Dann bekommt man 3 Gleichungen:
1) [mm] \lambda_{1}f_{1}(x_{1})+\lambda_{2}f_{2}(x_{1})+\lambda_{3}f_{3}(x_{1})=0 [/mm]
2) [mm] \lambda_{1}f_{1}(x_{2})+\lambda_{2}f_{2}(x_{2})+\lambda_{3}f_{3}(x_{2})=0 [/mm]
3 [mm] \lambda_{1}f_{1}(x_{3})+\lambda_{2}f_{2}(x_{3})+\lambda_{3}f_{3}(x_{3})=0 [/mm]
Nach den Vereinfachungen in den jeweiligen Gleichungen, kann man
[mm] \lambda_{1},...\lambda{3} [/mm] bestimmen und folgern, dass
[mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0 [/mm] ist.
So wie ich das Kriterium für die lineare Unabhängigkeit benutzt habe,
kommt dort kein x [mm] \in \IR [/mm] vor.
Deshalb weiß ich nicht, wie ich direkt aus dem Kriterium etwas bezüglich
x argumentieren/folgern kann.
Ich möchte gerne eine "Schritt für Schritt"-Argumentation haben .
Ich kann nur vermuten, was man auf der oben erwähnten Seite mit dem Ansatz gemeint hat:
Wenn man annimmt , dass die Vektoren linear abhängig sind ,dann ist
die Implikation falsch, d.h linke Seite der Implikation ist wahr und die rechte
ist falsch. Dann aber, da die linke Seite wahr für alle x ist, gibt es einen Widerspruch : für die oben erwähnten geieignete 3 x-Werte würde die
rechte Seite wahr sein, was der Voraussetzung ( die rechte Seite ist falsch) wider sprechen würde.
Wenn ich das so richtig verstanden habe , dann möchte den Beweis
Schritt für Schritt argumentieren können.
Könnt ihr mir dabei helfen ?
Danke und Gruss!
Igor
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> Betrachte den reellen Vektorraum [mm]\mathcal{F} (\IR,\IR)[/mm]
> aller Funktionen
> f: [mm]\IR \to \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen
> [mm]f_{1},f_{2},f_{3}[/mm] linear unabhängig sind:
> [mm]f_{1}:=1[/mm] , [mm]f_{2}:=sin(x) f_{3}:=cos(x).[/mm]
> Hallo,
>
> Frage1: über welchem Körper ist dieser Vektorraum?
Hallo,
das steht doch in der Aufgabe: es ist ein reeller VR, also über [mm] \IR.
[/mm]
> Frage2: ich benutze das Kriterium für die lineare
> Unabhängigkeit:
> [mm]v_{1}...v_{m}[/mm] sind genau dann linear unbhängig, wenn für
> alle Skalare
> [mm]\lambda_{1},...\lambda{m} \in \IK[/mm] die folgende Implikation
> gilt:
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{m}v_{m}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=...\lambda_{m}=0.[/mm]
Ja.
>
> Wenn man dieses Kriterium auf die Aufgabe anwendet, dann:
>
> [mm]f_{1}...f_{3}[/mm] sind genau dann linear unbhängig, wenn für
> alle Skalare
> [mm]\lambda_{1},...\lambda{3} \in \IK[/mm] die folgende Implikation
> gilt:
> [mm]\lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.[/mm]
Ja.
>
> Über einen Ansatz habe ich auf einer Seite im Internet
> gelesen, dass man 3 geeignete
> x-Werte [mm]x_{1},x_{2},x_{3} \in \IR[/mm] wählen soll [...]
> So wie ich das Kriterium für die lineare Unabhängigkeit
> benutzt habe,
> kommt dort kein x [mm]\in \IR[/mm] vor.
> Deshalb weiß ich nicht, wie ich direkt aus dem Kriterium
> etwas bezüglich
> x argumentieren/folgern kann.
Zunächst mal müssen wir uns vergegenwärtigen, was in der Gleichung [mm] \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3}=0 [/mm] mit der 0 gemeint ist:
das neutrale Element bzgl. + im Raum der reellen Funktionen. Da wir uns in einem Vektorraum bewegen, dessen Vektoren Funktionen sind, ist auch das neutrale Element eine Funktion - die Nullfunktion n mit n(x):=0 für alle x.
Es wäre also etwas deutlicher, würden wir scheiben [mm] \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3}=n.
[/mm]
Was haben wir dort? In dieser Gleichung geht es um die Gleichheit von Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte an jeder Stelle gleich sind. Aha:
aus [mm] \lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3}=n [/mm] folgt also
[mm] (\lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2}+\lambda_{3}f_{3})(x)=n(x) [/mm] für alle x
[mm] ==>\lambda_{1}f_{1}(x)+\lambda_{2}f_{2}(x)+\lambda_{3}f_{3}(x)=n(x)=0 [/mm] für alle x.
Wenn dies aber für alle x gilt, dann gilt es insbesondere für irgendwelche drei x, die ich mir nach meinem Gusto aussuche.
Und nun sind wir an der Stelle, an welcher die Dir vorliegende Argumentation weitergeht:
wenn für die drei x, die ich mir aussuche, folgt, daß die [mm] \lambda [/mm] alle =0 sein müssen, kann die Gleichung [mm] \lambda_{1}f_{1}(x)+\lambda_{2}f_{2}(x)+\lambda_{3}f_{3}(x)=0 [/mm] bloß für alle x gelten, wenn alle [mm] \lambda [/mm] =0 sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ist der Beweis durch Widerspruch, den ich vorgeschlagen habe, fehlerfrei?
Gruss
Igor
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> Hallo,
>
> ist der Beweis durch Widerspruch, den ich vorgeschlagen
> habe, fehlerfrei?
> Wenn man annimmt , dass die Vektoren linear abhängig sind ,
dann gibt es [mm] \lambda_i, [/mm] von denen mindestens eins von 0 verschieden ist, für welche gilt: [mm] \lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0
[/mm]
> Dann aber, da die linke Seite wahr für alle x ist, gibt es einen Widerspruch :
Da [mm] (\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3)(x)=0 [/mm] für alle x gelten muß,
hast Du einen Widerspruch zur Abhängigkeit, sofern Du vorher gezeigt hast, daß bei gewisser Wahl von x folgt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] =0 sind.
Diese Begründung ist aber schneckenformig von hinten.
Das geht doch komplett geradeaus ohne Widerspruche, das habe ich ja vorgemacht.
Gruß v. Angela
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