lineare Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $f$ in $End V$, seien $v_{1}, ...., v_{m}$ in $V$ nicht $0$, und seien $\lambda_{1},..., \lambda_{m}$ in $K$ verschieden mit $f({v_{i})=\lambda_{i}v_{i} (i=1,...,m)$. Zeige, dass $v_{1},...,v_{m}$ linear unabhängig über K sind. |
Hallo,
zu zeigen ist das ein System von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda_{1} ... \lambda_{m} \in K$ stets linear unabhängig ist.
Annahme ist dass $v_{1}... v_{m}$ linear abhängig sind, dann gilt $\sum_{i=1}^{m} a_{i}v_{i}=0$ mit $a_{i}\in K$. Daraus würde auch folgen dass $v_{m}=0$, dann kann $v_{m}$ aber kein Eigenvektor sein. Da $v_{i} \ne 0 \ \forall i=1,... , m$, $\exists j \in \{2,....,m\}:a_{j}\ne 0$.
Also $\sum_{i=1}^{m}\lambda_{1}a_{i}v_{i}=0 und $\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{m}(\lambda_{1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=\sum_{i=2}^{m}(\lambda_{1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=0$
Weil die Eigenwerte paarweise verschieden sind gilt $(\lambda_{1}-\lambda_{i})\ne 0$ für $i=2... m $ Dann hat es in der rechten SUmme noch mehr Lambdas und $v_{m}$ müsste linear abhängig sein.
also ist $v_{m}$ linear unabhängig
Stimmt das?
Ich habe diese Frage in keinem anderen FOrum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f[/mm] in [mm]End V[/mm], seien [mm]v_{1}, ...., v_{m}[/mm] in [mm]V[/mm] nicht [mm]0[/mm], und
> seien [mm]\lambda_{1},..., \lambda_{m}[/mm] in [mm]K[/mm] verschieden mit
> [mm]f({v_{i})=\lambda_{i}v_{i} (i=1,...,m)[/mm]. Zeige, dass
> [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear unabhängig über K sind.
> Hallo,
>
> zu zeigen ist das ein System von Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenwerten [mm]\lambda_{1} ... \lambda_{m} \in K[/mm]
> stets linear unabhängig ist.
>
>
> Annahme ist dass [mm]v_{1}... v_{m}[/mm] linear abhängig sind, dann
> gilt [mm]\sum_{i=1}^{m} a_{i}v_{i}=0[/mm] mit [mm]a_{i}\in K[/mm]. Daraus
> würde auch folgen dass [mm]v_{m}=0[/mm]
Wieso ????
> , dann kann [mm]v_{m}[/mm] aber kein
> Eigenvektor sein. Da [mm]v_{i} \ne 0 \ \forall i=1,... , m[/mm],
> [mm]\exists j \in \{2,....,m\}:a_{j}\ne 0[/mm].
Wieso ? Es kann auch [mm] a_1 \ne [/mm] 0 sein.
>
> Also [mm]$\sum_{i=1}^{m}\lambda_{1}a_{i}v_{i}=0[/mm] und
> [mm]$\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0$[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sum_{i=1}^{m}(\lambda_{1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=\sum_{i=2}^{m}(\lambda_{1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=0[/mm]
>
> Weil die Eigenwerte paarweise verschieden sind gilt
> [mm](\lambda_{1}-\lambda_{i})\ne 0[/mm] für [mm]i=2... m[/mm] Dann hat es in
> der rechten SUmme noch mehr Lambdas und [mm]v_{m}[/mm] müsste
> linear abhängig sein.
>
>
> also ist [mm]v_{m}[/mm] linear unabhängig
Du hast die richtige Idee ziemlich vemurkst.
Versuchs mal mit Induktion nach m
FRED
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> Stimmt das?
>
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen FOrum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Du hast die richtige Idee ziemlich vemurkst.
Welche IDee war richtig??
Also induktionsbehauptung:
[mm] $\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0$
[/mm]
Induktionsanfang: [mm] $\sum_{i=1}^{2}\lambda_{i}a_{i}v_{i}= \lambda_{1}a_{1}v_{1}+\lambda_{2}a_{2}v_{2}=0 [/mm] $
OK
Induktionsschritt $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$:
[mm] $\sum_{i=1}^{m+1}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0$ [/mm] Einsetzen der Induktionsbehauptung
[mm] $\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}+\lambda_{m+1}a_{m+1}v_{m+1}=0 [/mm] $
Also folgt aus [mm] $\lambda_{m+1}a_{m+1}v_{m+1}=0$ [/mm] dass [mm] v_{m+1} [/mm] linear unabhägig sein muss.
Richtig??
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > Du hast die richtige Idee ziemlich vemurkst.
>
>
> Welche IDee war richtig??
>
> Also induktionsbehauptung:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Quatsch !
Beh.:
für jedes m \in \IN gilt: sind $ v_{1}, ...., v_{m} $ in $ V $ nicht $ 0 $ und sind $ \lambda_{1},..., \lambda_{m} $ in $ K $ verschieden mit $ f({v_{i})=\lambda_{i}v_{i} (i=1,...,m) $. so sind $ v_{1},...,v_{m} $ linear unabhängig
Der Induktionsanfang dürfte klar sein.
I.V:
ist m \in \IN und sind $ v_{1}, ...., v_{m} $ in $ V $ nicht $ 0 $ und sind $ \lambda_{1},..., \lambda_{m} $ in $ K $ verschieden mit $ f({v_{i})=\lambda_{i}v_{i} (i=1,...,m) $. so sind $ v_{1},...,v_{m} $ linear unabhängig
m \to m+1:
Seien $ v_{1}, ...., v_{m+1} $ in $ V $ nicht $ 0 $ und seien $ \lambda_{1},..., \lambda_{m+1} $ in $ K $ verschieden mit $ f({v_{i})=\lambda_{i}v_{i} (i=1,...,m+1) $.
Zu zeigen: v_{1},...,v_{m+1} $ sind linear unabhängig
Dazu seien a_1, ...., a_{m+1} \in K und
(1) $ \sum_{i=1}^{m+1}a_{i}v_{i}=0 $
Dann ist auch
(2) $ \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_{m+1}a_{i}v_{i}=0 $
Lässt man f auf (1) los, so bekommt man
(3) $ \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0 $
So, nun subtrahiere (3) von (2) ind bringe die I.V. ins Spiel.
FRED
>
> Induktionsanfang: [mm]\sum_{i=1}^{2}\lambda_{i}a_{i}v_{i}= \lambda_{1}a_{1}v_{1}+\lambda_{2}a_{2}v_{2}=0[/mm]
>
> OK
>
> Induktionsschritt [mm]n \rightarrow n+1[/mm]:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{m+1}\lambda_{i}a_{i}v_{i}=0[/mm] Einsetzen der
> Induktionsbehauptung
>
> [mm]\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}a_{i}v_{i}+\lambda_{m+1}a_{m+1}v_{m+1}=0[/mm]
>
> Also folgt aus [mm]\lambda_{m+1}a_{m+1}v_{m+1}=0[/mm] dass [mm]v_{m+1}[/mm]
> linear unabhägig sein muss.
>
> Richtig??
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>
> > FRED
>
> Danke
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> So, nun subtrahiere (3) von (2) ind bringe die I.V. ins Spiel.
[mm] $\sum_{i=1}^{m+1}(\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{m}(\lambda_{m+1}-\lambda{i})a_{i}v_{i}=0$ [/mm]
Die Eigenwerte sind verschieden also kann [mm] $(\lambda_{m+1}-\lambda_{i}) \ne [/mm] 0$ sein und deswegen sind [mm] $v_{1}....v_{m+1}$ [/mm] linear unabhängig ??
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo
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> > So, nun subtrahiere (3) von (2) ind bringe die I.V. ins
> Spiel.
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> [mm]\sum_{i=1}^{m+1}(\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=\red{\sum_{i=1}^{m}(\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=0}[/mm]
Hallo,
Was folgt hieraus warum unter Berücksichtigung der Induktionsvoraussetzung?
> Die Eigenwerte sind verschieden also kann
> [mm](\lambda_{m+1}-\lambda_{i}) \ne 0[/mm] sein
Von "kann" kann hier nicht die Rede sein.
Sie sind ungleich 0.
Was folgt hieraus über die [mm] a_i,\qquad [/mm] i=1,...,m.
Was folgt für [mm] a_{m+1}.
[/mm]
Was folgt weshalb insgesamt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Was folgt hieraus warum unter Berücksichtigung der Induktionsvoraussetzung?
Dass es auf der rechten Seite zu viele Koeffizienten hat und [mm] $v_{1}....v_{m+1}$ [/mm] linear unabhängig sein müssen?
> Von "kann" kann hier nicht die Rede sein.
Sie sind paarweise verschieden?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > Was folgt hieraus warum unter Berücksichtigung der
> Induktionsvoraussetzung?
>
> Dass es auf der rechten Seite zu viele Koeffizienten hat
> und [mm]v_{1}....v_{m+1}[/mm] linear unabhängig sein müssen?
Mein Gott, Du stocherst im Nebel !
Wir hatten:
$ [mm] \sum_{i=1}^{m+1}(\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{m}(\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}v_{i}=0 [/mm] $
Nach I.V. sind [mm] v_1, ...,v_m [/mm] lin. unabh. , also folgt:
[mm] (\lambda_{m+1}-\lambda_{i})a_{i}=0 [/mm] für i=1, ..., m
Wegen [mm] \lambda_{m+1}\ne \lambda_{i} [/mm] (i=1, ..., m), haben wir [mm] a_i=0 [/mm] (i=1, ..., m)
Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass auch [mm] a_{m+1}=0 [/mm] ist.
FRED
>
> > Von "kann" kann hier nicht die Rede sein.
>
> Sie sind paarweise verschieden?
>
>
>
> > Gruss
>
> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Fr 18.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass auch ist.
Das folgt durch Einsetzen in die linke Seite.
> FRED
Danke.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
>
> > Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass auch ist.
>
>
> Das folgt durch Einsetzen in die linke Seite.
..................... was immer Du auch damit meinst ? ........
FRED
>
>
> > FRED
>
> Danke.
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 18.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi
Du hast doch gezeigt das [mm] a_i=0 [/mm] für i=1..m gilt. Also gilt auch [mm] a_{m+1}*v_{m+1}=0 [/mm] und deshalb [mm] a_{m+1}=0
[/mm]
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