lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 So 08.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Hallo, ich mal wieder...
Folgende Aufgabe:
In [mm] \IR^3 [/mm] seien die Vektoren
u = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4}, [/mm] v = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2} [/mm] und w(t) = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ t^2} [/mm]
gegeben. Für welches t [mm] \in \IR [/mm] ist die Menge [mm] \{u,v,w(t)} [/mm] linear abhängig bzw. linear unabhängig? |
So ich habe nun eine Matrix aufgestellt: [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & t^2 }
[/mm]
und wollte dass dann so machen, dass ich jede zeile jeweils glecih null setzte, denn so macht man dass doch oder?!
Dann wende ich darauf das Gauß-Verfahren an, dann steht aber in der letzten Zeile [mm] (14+2t^2)c [/mm] = 0 und wenn man dass jetzt rückwärts anwenden sind alle glecih null, was bedeutet dass die auf jedenfall linear unabhängig sind, aber dann dachte ich mir dann ist dass doch so egal was fürn vektor man nimmt ?! was hab ich falsch gemacht?
Gruß Phil
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also Zeilen setzt man nicht gleich 0. Aber wahrscheinlich meinst du das Richtige. Es geht um ein lineares Gleichungssystem, das in Matrixschreibweise die Gestalt
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & t^2 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
hat. Das kannst du durch elementare Umformungen auf Stufenform bringen (und da sich dabei die Nullen rechts nicht ändern, kann man sie auch ignorieren). Hier ergibt sich sogar eine Diagonalform. Allerdings mußt du dich verrechnet haben. Überprüfe noch einmal, ob da nicht ein Minuszeichen statt einem Pluszeichen hingehört. Und dann kann die Klammer ja Null werden ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 08.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Guter Tipp!
a + 3b + 3c = 0
2a + 2b + 4c = 0
4a + 2b + [mm] t^2 [/mm] c = 0
---------------------
a + 3b + 3c = 0
4b + 2c = 0
10b + [mm] 12-t^2 [/mm] = 0
----------------------
a + 3b + 3c = 0
4b + 2c = 0
[mm] 20-(48-4t^2)c [/mm] = 0 => (-28 + 4 [mm] t^2)c [/mm] = 0
Das bedeutet dass für t = [mm] \sqrt{7} [/mm] die Gleichung linear unabhängig ist und ansonsten linear abhängig?
Danke und Gruß Phil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 08.01.2012 | | Autor: | Philphil |
sry natürlich [mm] \pm \sqrt{7} [/mm] ...
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Hallo,
> Guter Tipp!
>
> a + 3b + 3c = 0
> 2a + 2b + 4c = 0
> 4a + 2b + [mm]t^2[/mm] c = 0
> ---------------------
> a + 3b + 3c = 0
> 4b + 2c = 0
> 10b + [mm]12-t^2[/mm] = 0
> ----------------------
> a + 3b + 3c = 0
> 4b + 2c = 0
> [mm]20-(48-4t^2)c[/mm] = 0 => (-28 + 4 [mm]t^2)c[/mm] = 0
>
schöner wäre es gewesen deine matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & t^2 } [/mm] $
mittels des gauß'schen eliminationsverfahrens auf:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & \frac{3(t^2-2)}{10} \\ 0 & 1 & (\frac{6}{5}-\frac{t^2}{10}) \\ 0 & 0 & \frac{-2(t^2-7)}{5} } [/mm] $ zu bringen.
> Das bedeutet dass für t = [mm]\sqrt{7}[/mm] die Gleichung linear
> unabhängig ist und ansonsten linear abhängig?
nein für t = [mm]\pm\sqrt{7}[/mm] [mm] (t^2=7) [/mm] sind die vektoren linear abhängig da der Rang < n=3 ist. lineare unabhängigkeit bedeutet unter anderem dass der Rang deiner Matrix voll ist also Rang(A)=n.
das bedeutet nichts anderes als: wenn t = [mm]\pm\sqrt{7}[/mm], bzw [mm] t^2=7 [/mm] --> Rang(A)<n --> lineare abhängigkeit
wenn t [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{\pm\sqrt{7}\} [/mm] --> Rang(A)=n --> linear unabhängig.
>
> Danke und Gruß Phil
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
Ah okay danke guter Denkanstoß, aber könntest du mir noch 2-3 Rechenschritt dazu schreiben, weil du in der letzten Zeile ein anderes Ergebnis hast als ich?! Auch wenn die 7 trotzdem bei uns beiden der Knackpunkt ist...
Danke :)
Gruß Phil
P.S. Bei mir sieht das so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & (12*(-7+t^2))\\ 0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)}
[/mm]
Stimmt das?! :/
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> Hallo,
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> Ah okay danke guter Denkanstoß, aber könntest du mir noch
> 2-3 Rechenschritt dazu schreiben, weil du in der letzten
> Zeile ein anderes Ergebnis hast als ich?! Auch wenn die 7
> trotzdem bei uns beiden der Knackpunkt ist...
>
also 1.) ein lineares gleichungssytem mit vollem rang ist eindeutig lösbar - wie du deine matrix auf diese zeilenstufenform bringst ist deine sache - die lösung ist die selbe.
2.) ich habe die lösung nur schnell mim pc berechnet, deshalb schaut sie gar so schlimm aus ;) du kannst mit 4 ganz einfachen umformungen auf ein schöneres ergebnis kommen als deines und meines:
1.) II-2I
2.) III-4I
4.) III+5II
dann kommst du auf die matrix: $ [mm] \pmat{ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & (t^2-7) } [/mm] $
dann hast du auch nur einmal deinen parameter t drinnen. (sieht doch gleich mal sexy aus)
und dadurch dass dein gleichungssystem die form A*x=0 hat folgt:
[mm] t^2-7=0 [/mm] --> [mm] t=\pm\sqrt{7}
[/mm]
> Danke :)
>
> Gruß Phil
>
> P.S. Bei mir sieht das so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & (12*(-7+t^2))\\ 0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm]
>
> Stimmt das?! :/
gegenfrage: was soll das ? abgesehen davon hast du auch nen fehler drinnen da b in der 1. zeile eigentlich 3 ist.
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
Ah vielen Dank, ich wusste nur nicht genau ob ich das t dann wieder nach oben durchziehen muss oder ob ich das so stehen lassen kann :)
Jedenfalls vielen dank, dass du dich um die Uhrzeit noch um meine Probleme kümmerst...
Ich glaube die Klausur im Februar wird spaßig :|
Gruß Phil
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> Hallo,
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> Ah vielen Dank, ich wusste nur nicht genau ob ich das t
> dann wieder nach oben durchziehen muss oder ob ich das so
> stehen lassen kann :)
am besten ist immer den einfachsten weg zu suchen - vorallem in der linearen algebra.
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> Jedenfalls vielen dank, dass du dich um die Uhrzeit noch um
> meine Probleme kümmerst...
kein problem. hatte die selben probleme in lineare algebra haha - ich versteh das.
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> Ich glaube die Klausur im Februar wird spaßig :|
bis dahin hast du ja noch genug zeit zu lernen ;) auf jeden fall viel glück!
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> Gruß Phil
Gruß zurück
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> P.S. Bei mir sieht das so aus:
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\
0 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\
0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & (12*(-7+t^2))\\
0 & 1 & 8*(-7+t^2) \\
0 & 0 & 4*(-7+t^2)}[/mm]
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> Stimmt das?! :/
Hallo,
mal abgesehen von dem Tippfehler in der ersten Zeile ist Deine erste Matrix eine korrekte ZSF, an welcher Du alles ablesen kannst. Noch schöner wird sie, wenn Du die 3.Zeile durch 4 und die 2.Zeile durch 2 dividierst:
[mm] $\pmat{ 1 & 3 & 3\\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4*(-7+t^2)}$ [/mm] --> [mm] $\pmat{ 1 & 3 & 3\\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -7+t^2}$ [/mm] .
Die beiden anderen Matrizen allerdings sind, wie bereits vom scherzkrapferl angedeutet, Müll.
LG Angela
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