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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
| Aufgabe | L: V [mm] \to [/mm] V
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \mapsto \pmat{ a-3b & 0 \\ 0 & 4b }
[/mm]
Die darstellende Matrix von L bezüglich einer Basis B sei [mm] L_{B}= \pmat{ 4 & 3 \\ 0 & 1 }
[/mm]
gesucht ist die Anzahl der Elemente in der Basis B, [mm] K_{B}(B_{1}), K_{B}(B_{2}), L_{B}(K_{B}(B_{1})),L_{B}(K_{B}(B_{2})), K^{-1}_{B}(L_{B}(K_{B}(B_{1}))), K^{-1}_{B}(L_{B}(K_{B}(B_{2}))) [/mm] und die Basiselemente direkt. |
Hallo,
Meine Idee zur Lösung der Aufgabe wäre, das ich von meiner Matrix [mm] L_{B} [/mm] auf die Bilder meiner Basiselemente schließen kann, weil ja die die Spalten von [mm] L_{B} [/mm] die koordinatenvektoren der Bilder der Basiselemente bezüglich der basis B sind. Ich hab dies gerechnet, jedoch komme ich laut meiner Rechnung nur auf ein Basiselement aber da meine Basis 2 Elemente haben müsste kann dies nicht richtig sein. Meine Frage wäre nun, ob es noch andere Ansätze gibt um diese Aufgabe zu lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Do 22.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> L: V [mm]\to[/mm] V
>
> [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \mapsto \pmat{ a-3b & 0 \\ 0 & 4b }[/mm]
>
> Die darstellende Matrix von L bezüglich einer Basis B sei
> [mm]L_{B}= \pmat{ 4 & 3 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> gesucht ist die Anzahl der Elemente in der Basis B,
> [mm]K_{B}(B_{1}), K_{B}(B_{2}), L_{B}(K_{B}(B_{1})),L_{B}(K_{B}(B_{2})), K^{-1}_{B}(L_{B}(K_{B}(B_{1}))), K^{-1}_{B}(L_{B}(K_{B}(B_{2})))[/mm]
Was bedeuten denn diese Symbole ?
> und die Basiselemente direkt.
Wie ??
> Hallo,
>
> Meine Idee zur Lösung der Aufgabe wäre, das ich von
> meiner Matrix [mm]L_{B}[/mm] auf die Bilder meiner Basiselemente
> schließen kann, weil ja die die Spalten von [mm]L_{B}[/mm] die
> koordinatenvektoren der Bilder der Basiselemente bezüglich
> der basis B sind. Ich hab dies gerechnet, jedoch komme ich
> laut meiner Rechnung nur auf ein Basiselement aber da meine
> Basis 2 Elemente haben müsste kann dies nicht richtig
> sein. Meine Frage wäre nun, ob es noch andere Ansätze
> gibt um diese Aufgabe zu lösen?
Man braucht doch keine Rechnung ! Es ist dimV=2. Dann hat jede Basis B von V 2 Elemente !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 22.12.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
Das was ich mit den Notationen meinte sind die Hintereinanderausführungen der Abbildungen, was aber nur Nebensache ist.
Viel wichtiger ist es wie ich mit Hilfe der Matrix herrausfinden kann, wie meine Basiselemente aussehen. Die matrix die ich hier gegeben habe ist die darstellende matrix meiner Basis B
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Do 22.12.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
hier ist einmal die Aufgabe komplett.
Gegeben ist der Vektorraum der reellen 2x2-Diagonalmatrizen
[mm] V:=\{\pmat{ a & 0 \\ 0 & b } | a,b∈R\},
[/mm]
eine lineare Abbildung L:V [mm] \to [/mm] V und
die darstellende Matrix [mm] L_{B} [/mm] bezüglich einer Basis [mm] ℬ={B_{1},...,B_{n}}.
[/mm]
Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und bestimmen Sie anschließend
[mm] K_{B}(B_{i}), L_{B}(K_{B}(B_{i}) [/mm] sowie [mm] K_{B}^{-1}(L_{B}K_{B}(B_{i}))) [/mm] als Linearkombination der
Basiselemente für alle [mm] B_{i} [/mm] (i=1,...,n) .
Bestimmen Sie eine Basis B, sodass [mm] L_{B} [/mm] die darstellende Matrix
von L bzgl. ℬ ist.
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> hier ist einmal die Aufgabe komplett.
Hallo,
das ist eine außerordentlich gute Idee.
>
> Gegeben ist der Vektorraum der reellen
> 2x2-Diagonalmatrizen
>
> [mm]V:=\{\pmat{ a & 0 \\
0 & b } | a,b∈R\},[/mm]
>
> eine lineare Abbildung L:V [mm]\to[/mm] V
$ [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \mapsto \pmat{ a-3b & 0 \\ 0 & 4b } [/mm] $.
Es wird in deiner Aufgabe nicht danach gefragt, aber wie sähe denn die Standardbasis für V aus?
[mm] S:=(S_1,S_2) [/mm] mit [mm] S_1:=..., S_2:=...
[/mm]
Was wäre die Darstellungsmatrix von L bezüglich dieser Basis?
> und
>
> die darstellende Matrix
$ [mm] L_{B}= \pmat{ 4 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] $
> bezüglich einer Basis
> [mm]ℬ={B_{1},...,B_{n}}.[/mm]
>
>
>
> Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und
> bestimmen Sie anschließend
Wieviele sind es weshalb?
>
> [mm]K_{B}(B_{i}),
Und? Wie lautet der Koordinatenvektor von B_1 bzgl B?
> L_{B}(K_{B}(B_{i})[/mm]
Wo kannst Du diesen Vektor ablesen?
Danach kann es weitergehen.
Immer der Reihe nach.
Gruß v. Angela
> sowie
> [mm]K_{B}^{-1}(L_{B}K_{B}(B_{i})))[/mm] als Linearkombination der
>
> Basiselemente für alle [mm]B_{i}[/mm] (i=1,...,n) .
>
>
>
> Bestimmen Sie eine Basis B, sodass [mm]L_{B}[/mm] die darstellende
> Matrix
> von L bzgl. ℬ ist.
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