www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Lineare Algebra > lineare abbildungen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - lineare abbildungen
lineare abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lineare abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Di 21.02.2006
Autor: bubble

Aufgabe
Gegeben seien in R3 die beiden Vektoren v1=(1,2,-1) und v2=(2,1,4). Zeigen sie: Es gibt unendlich viele lineare Abbildungen f:R3->R2 mit f(v1)=(1,0) und f(v2)=(0,1).

Ich habe überhaupt keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, damit ich wenigstens einen Ansatz habe?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
lineare abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 21.02.2006
Autor: Astrid

Hallo bubble,


und [willkommenmr]. Auch wir freuen uns über eine Begrüßung von deiner Seite. :-)


> Gegeben seien in R3 die beiden Vektoren v1=(1,2,-1) und
> v2=(2,1,4). Zeigen sie: Es gibt unendlich viele lineare
> Abbildungen f:R3->R2 mit f(v1)=(1,0) und f(v2)=(0,1).

Zunächst läßt sich jede lineare Abbildung durch eine (darstellende) Matrix beschreiben. In deinem Fall werden Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] auf Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] abgebildet, also brauchst du eine $2 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix. Die nenne ich [mm]A[/mm].

Nun soll gelten:

[mm]A \pmat{1\\2\\-1}=\pmat{1\\0}[/mm]

sowie

[mm]A\pmat{2\\1\\4}=\pmat{0\\1}[/mm].

Mit [mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}}[/mm]

kannst du dir nun 4 Gleichungen aufstellen und mußt nur noch zeigen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Viele Grüße
Astrid
Bezug
                
Bezug
lineare abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Di 21.02.2006
Autor: bubble

Danke für den Tipp. Der hat mir weitergeholfen. Wenn ich nun diese vier Gleichungen in einem linearen Gleichungssxstem löse, sieht man, dass die Vektoren abhängig voneinander sind. Bedeutet dies, dass es desalb unendlich viele Lösungen gibt?
Bezug
                        
Bezug
lineare abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Di 21.02.2006
Autor: DaMenge

Hi,

ja und nein !

Man sieht es schon irgendwie daran, aber wenn du es begründen würdest, müsstest du mehr argumentieren als lineare abhängigkeit.

Man braucht hier die Matrix auch gar nicht, denn eine lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder einer Basis bestimmt.

Deine zwei Vektoren sind linear unabhänig, also kann man nach dem Basisergänzungssatz noch einen dritten Vektor [mm] v_3 [/mm] ergänzen damit man eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat.

dann setzt man einfach [mm] $f(v_1)=e_1$ [/mm] und [mm] $f(v_2)=e_2$ [/mm]
(also so, wie in der aufgabenstellung verlangt)
und hat dann noch unendlich viele Möglichkeiten das Bild von [mm] v_3 [/mm] zu wählen...
(das Bild bleibt dennoch immer dasselbe..)

wie gesagt : die Bilder der Basisvektoren bestimmen schon die Abbildung eindeutig.

viele Grüße
DaMenge
Bezug
                                
Bezug
lineare abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Di 21.02.2006
Autor: Astrid

Hallo DaMenge,

stimmt, das ist natürlich viel schöner! :-)

Viele Grüße
Astrid
Bezug
                                
Bezug
lineare abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 22.02.2006
Autor: bubble

Danke, eure Antworten haben mir geholfen!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]