lineare abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Wie muss die reelle zahl a gewählt werden, damit die vektoren linear abhängig sind?
[mm] \vektor{a \\-3 \\ 5}, \vektor{1 \\ -a \\ 2}, \vektor{-2 \\ -2 \\ 2a} [/mm] |
Tach zusamm!
Ich bin im Buch auf diese aufgabe gestoßen und rauf mir nun seit 2 stunden die haare aus. Komm einfach zu keinem vernünftigen Ergebnis.
Mein Ansatz:
[mm] \alpha*\vektor{a \\-3 \\ 5}+\beta*\vektor{1 \\ -a \\ 2}+\gamma*\vektor{-2 \\ -2 \\ 2a}= \vmat{ 0\\0\\0 }
[/mm]
[mm] \vmat{ a\alpha+\beta-2\gamma=0 \\ -3\alpha-a\beta-2\gamma=0 \\5\alpha+2\beta+2a\gamma=0}
[/mm]
2. gleichung mal5, 3. mal 3 und dann beide addiert
1. gleichung mal 3, 2. mal a und dann addiert
[mm] \vmat{ 3\beta-a^{2}\beta-6\gamma-2a\gamma=0 \\ -5a\beta+6\beta-10\gamma+6a\gamma=0}
[/mm]
1. gleichung geteilt durch -3, 2.geteilt durch 5 dann addiert
[mm] \vmat{ 5\beta+\bruch{1}{3}a^{2}\beta-a\beta+30\bruch{2}{3}a\gamma=0 }
[/mm]
So und jez weiß ich nicht weiter. Mich irritiert ein wenig das [mm] a^{2} [/mm] und wenn ich versuch [mm] \gamma [/mm] wegzubekommen, habe ich ein problem mit dem [mm] \beta. [/mm] Also ich hab kein Plan wie ich da a bestimmen soll.
Wär sehr lieb wenn mir jemand helfen könnte.
GRUß KARLCHEN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 02.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin karlchen,
ich verstehe deine rechnung nicht. man könnte auch über eine matrix gehen und diese in dreiecksform bringen. ich blaibe aber mal bei (deinem) gleichungssystemansatz.
ar +s -2t =0
-3r -as -2t =0
5r + 2s +2at =0
beim gleichungsadditionsverfahren addiert man die gleichungen so, dass
schrittweise variable rausfallen.
I. minus II.
ar+3r + s+as =0 (IV.)
I. mal a plus III.
a^2r +as -2at = 0
5r + 2s +2at =0 +
-------------------------------
a^2r+5r +as+2s =0 (V)
weiter:
ar+3r + s+as =0 (IV.)
a^2r+5r +as+2s =0 (V)
(a+3)r +(a+1)s =0 ------------ *(a+2)
[mm] (a^2+5)r [/mm] + (a+2)s =0 ---------- *(a+1)
[mm] (a^2+5a+6)*r [/mm] +(a+1)*(a+2)*s =0 ---------- IV'
[mm] (a^3+a^2+5a+5)*r [/mm] +(a+1)*(a+2)*s =0 ---------- V'
IV' minus V'
[mm] (-a^3 [/mm] +1)*r =0
wenn [mm] (-a^3 [/mm] +1)=0 ist, dann ist r beliebig wählbar....
a=1
=> r beliebig wählbar, s= -2r, t= - [mm] \bruch{1}{2}r
[/mm]
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 03.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin karlchen,
hier noch kurz die matrix-variante:
[mm] \pmat{ a & 1 & -2\\ -3 & -a & -2 \\ 5& 2& 2a}
[/mm]
II. *5
III. *3 +
-------------
I. *3
II. *a +
-------------
[mm] \pmat{ a & 1 & -2\\ 0 & -a^2+3 & -2a-6 \\ 0& -5a+6& +6a-10}
[/mm]
II' * - (-5a+6) bzw. * (5a-6)
III' * [mm] (-a^2+3) [/mm] +
----------------------------------------------------------------
[mm] \pmat{ a & 1 & -2\\ 0 & -a^2+3 & -2a-6 \\ 0& 0& -6a^3+6}
[/mm]
=>
[mm] (-6a^3+6)*t [/mm] = 0
wenn [mm] (-6a^3 [/mm] +6) =0 ist t beliebig wählbar!
a=1
[mm] (-a^2+3)*s [/mm] + (-2a-6)*t =0
2s -8t =0 s=4t
a*r + s -2t = 0
r + 4t -2t = 0
r=-2t
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | Karlchen |
HALLÖCHEN!
danke ers mal für eure Hilfe, vor allem dir wolfgang für deine mühe. denke des hat mir doch weiter geholfen^^
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & -2\\ 0 & -a^2+3 & -2a-6 \\ 0& 0& +6a^3+6}[/mm]
>
> =>
>
> [mm](-6a^3+6)*t[/mm] = 0
>
diesen schritt verstehe ich nciht so ganz, also ich hatte schon sofort das ergenis [mm] -6a^{3}+6 [/mm] heraus.hab ich mcih verrechnet? warum ändern sich denn dann auf einmal die vorzeichen?
hab noch mal so eine aufgabe gerechnet, wenn jemand lust und zeit hat wäre es sehr lieb wenn das jemand nachschaun könnte
[mm] \vektor{3\\ 1\\a}, \vektor{1\\ 0\\4}, \vektor{a\\ 2\\1}
[/mm]
[mm] \alpha*\vektor{3\\ 1\\a}+\beta*\vektor{1\\ 0\\4}+\gamma*\vektor{a\\ 2\\1}=\vektor{0\\ 0\\0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 1 & a \\ 1 & 0 & 2\\ a & 4 & 1 }
[/mm]
2. Gleichung * -3 dann + die 1. Gleichung
2. Gleichung *a, 3. Gl. *-1 dann beide addiert
[mm] \pmat{ 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & a-6\\ 0 & -4 & 2a-1 }
[/mm]
2. Gl. *4 dann mit der 3. Gl. addiert
[mm] \pmat{ 3 & 1 & a \\ 0 & -4 & 2a-1\\ 0 & 0 & 6a-25 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow (6a-25)*\gamma=0
[/mm]
wenn (6a-25)=0 ist [mm] \gamma [/mm] beliebig wählbar
[mm] a=\bruch{25}{6}
[/mm]
GRUß KARLCHEN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 03.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallo karlchen,
> HALLÖCHEN!
>
> danke ers mal für eure Hilfe, vor allem dir wolfgang für
> deine mühe. denke des hat mir doch weiter geholfen^^
>
>
> >
> > [mm]\pmat{ a & 1 & -2\\ 0 & -a^2+3 & -2a-6 \\ 0& 0& +6a^3+6}[/mm]
gemeint ist natürlich: [mm] -6a^3+6 [/mm] (s.u.) !
> >
> > =>
> >
> > [mm](-6a^3+6)*t[/mm] = 0
> >
>
> diesen schritt verstehe ich nciht so ganz, also ich hatte
> schon sofort das ergenis [mm]-6a^{3}+6[/mm] heraus.hab ich mcih
> verrechnet? warum ändern sich denn dann auf einmal die
> vorzeichen?
da ist nichts zu verstehen *g*. selbstverständlich muss es auch in der matrix [mm] -6a^3+6 [/mm] heissen!!
> hab noch mal so eine aufgabe gerechnet, wenn jemand lust
> und zeit hat wäre es sehr lieb wenn das jemand nachschaun
> könnte
>
> [mm]\vektor{3\\ 1\\a}, \vektor{1\\ 0\\4}, \vektor{a\\ 2\\1}[/mm]
>
> [mm]\alpha*\vektor{3\\ 1\\a}+\beta*\vektor{1\\ 0\\4}+\gamma*\vektor{a\\ 2\\1}=\vektor{0\\ 0\\0}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & a \\ 1 & 0 & 2\\ a & 4 & 1 }[/mm]
>
> 2. Gleichung * -3 dann + die 1. Gleichung
> 2. Gleichung *a, 3. Gl. *-1 dann beide addiert
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & a-6\\ 0 & -4 & 2a-1 }[/mm]
>
> 2. Gl. *4 dann mit der 3. Gl. addiert
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & a \\ 0 & -4 & 2a-1\\ 0 & 0 & 6a-25 }[/mm]
also hier würde ich die zweite gleichung beibehalten...
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & a-6\\ 0 & 0 & 6a-25 }[/mm]
scheint aber keine große rolle zu spielen...
> [mm]\Rightarrow (6a-25)*\gamma=0[/mm]
> wenn (6a-25)=0 ist [mm]\gamma[/mm]
> beliebig wählbar
>
> [mm]a=\bruch{25}{6}[/mm]
richtig!
=> t beliebig wählbar (außer 0, denn dann wären die vektoren linear unabhängig); s= [mm] \bruch{11}{6}*t [/mm] ; r= -2t
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 03.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo karlchen,
über die Koeffizientenmatrix A erhältst du [mm] det(A)=-2a^3+2
[/mm]
und damit muss a=1 sein, damit die Vektoren linear abhängig werden.
Liebe Grüße
Herby
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