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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - lineare abhängigkeit
lineare abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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lineare abhängigkeit: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 So 13.03.2005
Autor: bigwave

Wäre nett, wenn das einer mal schnell lösen könnte:

Wie müssen die parameter alpha und beta numerisch gewählt werden, damit die folgenden Vektoren linear abhängig sind?

x= (-3,alpha,beta) y= (4,-2,-2) z= (-2,1,-2)

Nach meinen Rechnungen erhalte ich: alpha=1,5 und beta=(3x-6y)/x
wobei man ja numerische Lösungen suchen soll. Stimmt denn nun das beta, oder kann man das genau bestimmen?

danke für eure beteiligung.
grüße aus mannheim

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
lineare abhängigkeit: alpha=3/2, beta=beliebig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 So 13.03.2005
Autor: Nam

Hallo bigwave,

die korrekte Lösung ist:
[mm]\alpha = \frac{3}{2}[/mm]
[mm]\beta \in \IR[/mm] beliebig

Rechenweg:
[mm]\vmat{ -3 & 4 & -2 \\ \alpha & -2 & 1 \\ \beta & -2 & -2} = -12 + 4\beta +4\alpha - 4\beta - 6 + 8\alpha = 12\alpha - 18 =: det(a)[/mm]

Setze det(a) = 0, in diesem Fall sind die Vektoren x,y,z linear abhängig:
[mm]det(a) = 0 = 12\alpha - 18 \Rightarrow \alpha = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}[/mm]





Weiter ist meine Vermutung, dass
[mm]x = c_y y + c_z z[/mm] mit gewissen [mm]c_y, c_z \in \IR[/mm]

Also (mit dem Gauß Algorithmus):
[mm]\left. \begin{matrix} 4 & -2 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right| \begin{matrix}-3 \\ \beta\end{matrix}[/mm]

[mm]\left. \begin{matrix} 4 & -2 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right| \begin{matrix}-3 \\ \beta -\frac{3}{2} \end{matrix}[/mm]

[mm]\Rightarrow c_z = -\frac{1}{3}\beta + \frac{1}{2}[/mm]

[mm]\Rightarrow c_y = -\frac{1}{6}\beta - \frac{1}{2}[/mm]

Mache mal die Probe, wenn du z. B. [mm]\beta = 0[/mm] einsetzt.


Bezug
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