lineare & injektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:11 Di 20.06.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Abbildung im Raum der Folgen [mm] \varphi [/mm] : S(K) [mm] \to [/mm] S(K), [mm] (a_n )_{n\ge1} \to (b_n )_{n\ge1} [/mm] mit [mm] b_0 [/mm] = 0 und [mm] b_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 ist linear und injektiv, aber nicht surjektiv.
Finden Sie eine lineare Abbildung die surjektiv, aber nicht injektiv ist. |
Hallo,
ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiß einfach nicht weiter. Muss ich den Beweis durch vollständige Induktion zeigen?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Di 20.06.2006 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie: Dei Abbildung im Raum der Folgen [mm]\varphi[/mm] : S(K)
> [mm]\to[/mm] S(K), [mm](a_n )_{n\ge1} \to (b_n )_{n\ge1}[/mm] mit [mm]b_0[/mm] = 0
> und [mm]b_n[/mm] = [mm]a_{n-1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1 ist linear und injektiv,
> aber nicht surjektiv.
> Finden Sie eine lineare Abbildung die surjektiv, aber nicht
> injektiv ist.
Guten Morgen xsara und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich sitze gerade über dieser Aufgabe und weiß einfach nicht
> weiter. Muss ich den Beweis durch vollständige Induktion
> zeigen?
Du mußt überhaupt nichts, weil du ja ein freier Mensch bist! (s. Lessing)
Was passiert denn anschaulich mit der Folge [mm] a_{n} [/mm] bei dieser Abbildung? Wir schreiben eine Null davor! Und was heißt injektiv? In lässiger Sprache: Wenn die Bilder gleich sind, müssen schon die Urbilder gleich gewesen sein. Aber wenn die Bilder gleich sind, sind alle [mm] b_{n}'s [/mm] gleich, und das sind die [mm] a_{n}'s, [/mm] also sind die beiden Ursprungsfolgen schon gleich gewesen, qed.
> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Das hoffe ich mit dir! Kannst du jetzt eine entsprechende surjektive Abbildung finden? Einfach das 1. Folgenglied wegstreichen, z. B.
Vorschlag: Schreib es schön auf und leg es hier zur Begutachtung ab.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 20.06.2006 | | Autor: | xsara |
Hi,
ich komme leider immer noch nicht weiter.
Die Abbildung kann ich doch auch als [mm] a_n \to b_n [/mm] = [mm] a_n-1 [/mm] und somit [mm] f(a_n [/mm] ) = [mm] a_n-1 [/mm] auffassen.
Wenn ich zeige, dass die Abbildung injektiv ist, kann ich nach der Definition x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) , [mm] a_n [/mm] für x und [mm] a_n-1 [/mm] für y einsetzen.
[mm] \Rightarrow a_n \not= a_n-1 \Rightarrow f(a_n [/mm] ) = [mm] a_n-1 \not= f(a_n-1) [/mm] = [mm] a_n-2 [/mm] und die Injektivität ist gezeigt.
Um zu zeigen dass die Abbildung nicht surjektiv ist kann ich die Definition für surjektiv ( f(x) = y ) gar nicht anwenden. Wie kann ich vorgehen?
Ist zusätzlich noch zu zeigen, dass die Abbildung linear ist? Wenn ja, dann ist ergibt sich doch [mm] b_n [/mm] als Linearkombination aus [mm] a_n [/mm] oder? Wie könnte man dies zeigen?
Leider kann ich auch noch keine surjektive Abbildung finden.
Vielen Dank!
xsara
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:10 Mi 21.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Kann mir jemand erklären,worin der Unterschied
a) einer Abbildung in einem Vektorraum und
b) einer Abbildung im Raum der Folgen besteht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
> Um zu zeigen dass die Abbildung nicht surjektiv ist kann
> ich die Definition für surjektiv ( f(x) = y ) gar nicht
> anwenden. Wie kann ich vorgehen?
Du könntest z.B. einen Widersruchsbeweis führen, dafür reicht ja dass es irgendwo nicht passt. Z.B. mit der Idee von oben
> Ist zusätzlich noch zu zeigen, dass die Abbildung linear
> ist?
Linearität hat zwei Kriterien, die sich einfach prüfen lassen müssten.
Gruß
Wapiya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 21.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
aber worin besteht der unterschied zwischen:
a) normaler abbildung im vektorraum und
b) abbildung von Folgen ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 21.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Hi,
>
> aber worin besteht der unterschied zwischen:
> a) normaler abbildung im vektorraum und
> b) abbildung von Folgen ???
Hallo,
...erstmal keiner, denn die Menge aller Folgen bildet (mit entsprechenden Verknüpfungen) ja auch einen Vektorraum. Allerdings besitzt dieser unendliche Dimension (anschaulich kann man sich ja eine Folge auch als einen unendlichen Zeilenvektor vorstellen). Und die Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität von lin. Abbildungen V->V gilt ja nur für endlichdimensionale Vektorräume V. Die Aufgabe zeigt auch relativ klar, warum man hier bei unendlicher Dimension Probleme bekommt: man kann die Folgenglieder ja problemlos alle um eins nach links oder rechts verschieben. Bei endlicher Dimension wäre der Vektor irgendwann zu Ende und dann wär's Essig mit der Schieberei.
Gruß
piet
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