linearer Speicher < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Fagus |
Hallo zusammen
Ich habe ein Problem betreffend des Berechnens eines linearen Speichers, einem gängigen Modell in der Hydrologie. Dieses gehte davon aus, dass der Ausfluss aus einem Gefäss mit einem Auslauf unten, aber abgedichtetem Boden gegeben ist durch
q(t)=K x HW Gl. 1
wobei K eine Konstante ist, die die Bodeneigenschaften zusammenfasst (z.B. grösse des Ausflusses) und HW die Höhe der Wassersäule ist. Nun habe ich Beregnungsexperimente durchgeführt, dabei sind in verschiedenen Bodentiefen volumetrische Wassergehalte (m3/m3) über die Zeit aufgezeichnet worden. Datengrundlage für die Berechnung des linearen Speichers sind die Wassergehaltmessungen nach Ende der Beregnungen.
Die Idee ist nun, aus diesen Aufzeichnungen die Tiefe des Bodens des Gefässes (im konkreten Fall die Tiefe der wasserstauenden Schicht im Boden) zu berechnen. Darum die folgende Idee:
Es sei
H= Distanz von der aufzeichnenden Sonde zur wasserstauenden Schicht
h(t)=Distanz von der Sonde zum Wasserspiegel, damit ist
H+h(t)=Wassersäule HW
Gesucht ist also H. Ich habe folgendes Vorgehen gewählt:
q(t)=(h(t)+H) [mm] \* K=\bruch{-dh}{dt} [/mm] Gl. 2
daraus folgt dass
[mm] \bruch{-dh}{(h(t) + H)}=-K \* [/mm] dt Gl. 3
Integriert über die Höhe der Wassersäule und die Zeit folgt
[mm] \integral_{h_0}^{h(t)}{\bruch{dh}{(h(t)+H}}=-K\*\integral_{0}^{t}{dt} [/mm] Gl. 4
Das ergibt
[mm] ln(h(t)+H)-ln(h_{0}+H)=-K\*t [/mm] Gl. 5
Daraus folgt
[mm] h(t)+H=(h_{0}+H)\*e^{-K\*t} [/mm] Gl. 6
Umformen führt zu H
[mm] H=\bruch{h(t)-h_{0}\*e^{-K\*t}}{-1+e^{-K\*t}} [/mm] Gl. 7
Soweit so gut (hoffe ich zumindest). Das Hauptproblem ist nun, K aus den Wasserehaltskurven zu bestimmen. H soll ja konstant sein, daraus leitet sich ab, dass H zu verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2 gleich sein muss. Also lässt sich daraus das K berechnen, das ja ebenfalls konstant sein soll:
[mm] \bruch{h(t_{1})-h_{0}\*e^{-K\*t_{1}}}{-1+e^{-K\*t_{1}}}=\bruch{h(t_{2})-h_{0}\*e^{-K\*t_{2}}}{-1+e^{-K\*t_{2}}}
[/mm]
Nun. leider gelingt es mir nicht, diese Gleichung nach K aufzulösen.... Könnt ihr mir helfen? Evt. stimmt auch etwas mit den Überlegungen nicht, die zu dieser Formel geführt hat.
Ich bin für jeden Tipp dankbar. Gruss, Beni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 23.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich habe verstanden, dass du in verschiedenen Tiefen h den Wassergehalt misst. wieso kann dann h von t abhängen? Was soll das h(t) ausdrücken?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 27.12.2008 | | Autor: | blange |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo
Also, h(t) ist die Höhe des "Wasserspiegels" über der Sonde. h hängt von der Zeit ab, da eine Drainage stattfindet, der Speicher entleert sich also. Die Abnahme ist irgend eine Funktion in der Art von
[mm] h(t)=H_{0}\*e^{-a\*t}
[/mm]
Wobei [mm] H_{0} [/mm] dem Wassergehalt zu Beginn der Drainage ist (Zeitpunkt 0) und a irgend eine Konstante.
Danke und Gruss, beni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 27.12.2008 | | Autor: | blange |
Ich habe bei der Antwort oben noch eine Skizze angehängt, die die Situation verdeutlicht. Oben die Abnahme des Wassergehaltes über die Zeit, unten die Idee des linearen Speichers.
Gruss, Beni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 29.12.2008 | | Autor: | blange |
Sorry, die Frage oben ist immer noch aktuell, ich habe die Fälligkeit falsch gewählt...
|
|
|
| |
|
Ok, hier mal weiter.
Danke für die Erläuterungen und Grafiken, das hat geholfen, zu verstehen, was Du da tust.
> Hallo
>
> Also, h(t) ist die Höhe des "Wasserspiegels" über der
> Sonde. h hängt von der Zeit ab, da eine Drainage
> stattfindet, der Speicher entleert sich also. Die Abnahme
> ist irgend eine Funktion in der Art von
>
> [mm]h(t)=H_{0}\*e^{-a\*t}[/mm]
>
> Wobei [mm]H_{0}[/mm] dem Wassergehalt zu Beginn der Drainage ist
> (Zeitpunkt 0) und a irgend eine Konstante.
>
> Danke und Gruss, beni
Ich denke, es liegt viel daran, in welcher Form Du Deine Wasserstandsfunktion ansetzt. Soweit ich verstanden habe, misst Du ja in unbekannter Höhe H über der undurchlässigen Schicht den zeitlichen Verlauf der Wassersäule h(t) über der Sonde.
Also ist [mm] H+h(t)=b*e^{-K*t} [/mm] bzw. [mm] \blue{h(t)=b e^{-K t}-H}
[/mm]
Gemessen sind mehrere [mm] h_i(t_i). [/mm] Unbekannt sind b,K und H. Nötig sind daher mindestens drei Messpunkte, sowie eine geschickte Umformung...
1.Versuch: H eliminieren, dann b oder K bestimmen
aus [mm] H=be^{-Kt}-h(t) [/mm] ergibt sich [mm] be^{-Kt_1}-h_1=be^{-Kt_2}-h_2
[/mm]
Auflösung nach K geht wohl nicht, also nach b:
[mm] b=\bruch{h_1-h_2}{e^{-Kt_1}-e^{-Kt_2}} [/mm] , analog dazu [mm] b=\bruch{h_2-h_3}{e^{-Kt_2}-e^{-Kt_3}}
[/mm]
Alle Größen außer K sind bekannt, aber leider ist die Gleichung nicht nach K aufzulösen. Ich bin sicher, dass es numerische Näherungsverfahren gibt, aber da kenne ich mich nicht aus.
2.Versuch: b eliminieren, dann K oder H bestimmen
aus [mm] b=\bruch{h(t)+H}{e^{-Kt}} [/mm] ergibt sich [mm] \bruch{h_1+H}{e^{-Kt_1}}=\bruch{h_2+H}{e^{-Kt_2}} \Rightarrow \bruch{h_1+H}{h_2+H}=e^{-K(t_1-t_2}
[/mm]
Dann ist [mm] K=\bruch{\ln{(h_2+H)}-\ln{(h_1+H)}}{t_1-t_2} [/mm] , analog dazu [mm] K=\bruch{\ln{(h_3+H)}-\ln{(h_1+H)}}{t_1-t_3}
[/mm]
Es folgt [mm] e^{(\ln{(h_2+H)}-\ln{(h_1+H)})*(t_1-t_3)}=e^{(\ln{(h_3+H)}-\ln{(h_1+H)})*(t_1-t_2)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left(\bruch{h_2+H}{h_1+H}\right)^{(t_1-t_3)}=\left(\bruch{h_3+H}{h_1+H}\right)^{(t_1-t_2)}
[/mm]
Hieraus dann mit wenig Umformung: [mm] (h_2+H)^{(t_3-t_1)}=(h_1+H)^{(t_3-t_2)}*(h_3+H)^{(t_2-t_1)}
[/mm]
Auf den ersten Blick ist das leider wieder nicht allgemein nach H auflösbar, aber wenn die Zeitpunkte und die Skalierung der Zeit geschickt gewählt werden, dann gibt es doch eine Lösung.
Wir nehmen drei Messzeitpunkte an, die im gleichen Abstand voneinander liegen, also z.B. [mm] t_1=43s, t_2=119s, t_3=195s, [/mm] jeweils 76s auseinanderliegend. Nun transformiere ich linear in ein anderes Zeitsystem, so dass [mm] t_1'=0, t_2'=1, t_3'=2 [/mm] wird, oder meinetwegen zu 4,5,6 - jedenfalls im Abstand 1 voneinander.
Denn dann bekomme ich, oben eingesetzt:
[mm] (h_2+H)^2=(h_1+H)(h_3+H) \Rightarrow H=\bruch{h_2^2-h_1h_3}{h_1-2h_2+h_3}
[/mm]
Für die Bestimmung von H ist die neue Zeitskala unschädlich. Sie muss aber berücksichtigt werden, wenn Du nun K und b bestimmst. Die Rücksubstitution auf die alte Skala nimmst Du am besten erst in der dann vollständig bestimmten Funktionsgleichung für h vor: [mm] h(t')\rightarrow \a{}h(t).
[/mm]
Die Bestimmungsgleichung stehen ja schon oben:
[mm] K=\bruch{\ln{(h2+H)}-\ln{(h_1+H)}}{t_1'-t_2'}
[/mm]
[mm] b=\bruch{h_1-h_2}{e^{-Kt_1'}-e^{-Kt_2'}}
[/mm]
Dann hast Du [mm] h(t')=b*e^{-Kt'}-H [/mm] . Durch Rücksubstitution der Zeitskala wirst Du mindestens ein anderes K bekommen, wenn auch eine Verschiebung stattgefunden hat, auch ein anderes b. Beide sind aber eindeutig festgelegt.
Nun hoffe ich nur, dass Du mindestens drei äquidistante Messzeitpunkte zur Verfügung hast. Bei einer systematischen Messung gehe ich davon aber aus. Ansonsten wird die Lösung ungleich komplizierter, ist aber u.U. trotzdem möglich.
So, ich hoffe, ich habe keine Umformungsfehler oder sonstige Denkknoten gemacht.
Würde mich freuen, wenn es noch jemand anders durchsieht.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo Beni, ob nun als Fagus oder blange, erstmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Ich habe mal versucht mich durch Deine Frage zu arbeiten. Zur Lösung schreibe ich dann gleich noch einen Beitrag mit Bezug auf Deine andere, noch offene Frage.
Hier erst einmal die Durchsicht:
> Hallo zusammen
> Ich habe ein Problem betreffend des Berechnens eines
> linearen Speichers, einem gängigen Modell in der
> Hydrologie. Dieses gehte davon aus, dass der Ausfluss aus
> einem Gefäss mit einem Auslauf unten, aber abgedichtetem
> Boden gegeben ist durch
>
> q(t)=K x HW Gl. 1
>
> wobei K eine Konstante ist, die die Bodeneigenschaften
> zusammenfasst (z.B. grösse des Ausflusses) und HW die Höhe
> der Wassersäule ist. Nun habe ich Beregnungsexperimente
> durchgeführt, dabei sind in verschiedenen Bodentiefen
> volumetrische Wassergehalte (m3/m3) über die Zeit
> aufgezeichnet worden. Datengrundlage für die Berechnung des
> linearen Speichers sind die Wassergehaltmessungen nach Ende
> der Beregnungen.
>
> Die Idee ist nun, aus diesen Aufzeichnungen die Tiefe des
> Bodens des Gefässes (im konkreten Fall die Tiefe der
> wasserstauenden Schicht im Boden) zu berechnen. Darum die
> folgende Idee:
>
> Es sei
>
> H= Distanz von der aufzeichnenden Sonde zur wasserstauenden
> Schicht
> h(t)=Distanz von der Sonde zum Wasserspiegel, damit ist
> H+h(t)=Wassersäule HW
>
> Gesucht ist also H.
Das halte ich mal als den zentralen Punkt fest.
Gesucht ist H und nichts anderes, ja?
> Ich habe folgendes Vorgehen gewählt:
>
> q(t)=(h(t)+H) [mm]\* K=\bruch{-dh}{dt}[/mm] Gl. 2
Ok, q(t) ist die Abflussmenge, hier durch zwei Beziehungen dargestellt, einmal wie oben (Wassersäule mal Konstante), einmal als Ableitung des Wasserstandes.
Damit liegt jetzt eine einfache Differentialgleichung vor.
> daraus folgt dass
>
> [mm]\bruch{\red{-}dh}{(h(t) + H)}=\red{-}K \*[/mm] dt Gl. 3
Eins der beiden Minuszeichen ist zuviel. Scheint ein Schreibfehler zu sein, es geht nämlich richtig weiter.
> Integriert über die Höhe der Wassersäule und die Zeit
> folgt
>
> [mm]\integral_{h_0}^{h(t)}{\bruch{dh}{(h(t)+H}}=-K\*\integral_{0}^{t}{dt}[/mm]
> Gl. 4
>
> Das ergibt
>
> [mm]ln(h(t)+H)-ln(h_{0}+H)=-K\*t[/mm] Gl. 5
Das Lösungsverfahren scheint mir irgendwie schräg, aber das Ergebnis ist richtig.
> Daraus folgt
>
> [mm]h(t)+H=(h_{0}+H)\*e^{-K\*t}[/mm] Gl. 6
>
> Umformen führt zu H
>
> [mm]H=\bruch{h(t)-h_{0}\*e^{-K\*t}}{-1+e^{-K\*t}}[/mm] Gl. 7
>
> Soweit so gut (hoffe ich zumindest). Das Hauptproblem ist
> nun, K aus den Wasserehaltskurven zu bestimmen.
Nun suchst Du also doch K?
> H soll ja
> konstant sein, daraus leitet sich ab, dass H zu
> verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2 gleich sein muss. Also
> lässt sich daraus das K berechnen, das ja ebenfalls
> konstant sein soll:
>
> [mm]\bruch{h(t_{1})-h_{0}\*e^{-K\*t_{1}}}{-1+e^{-K\*t_{1}}}=\bruch{h(t_{2})-h_{0}\*e^{-K\*t_{2}}}{-1+e^{-K\*t_{2}}}[/mm]
>
> Nun. leider gelingt es mir nicht, diese Gleichung nach K
> aufzulösen....
Mir auch nicht. Es geht m.E. auch nicht.
Die Lösung muss anders ansetzen.
> Könnt ihr mir helfen? Evt. stimmt auch etwas
> mit den Überlegungen nicht, die zu dieser Formel geführt
> hat.
>
> Ich bin für jeden Tipp dankbar. Gruss, Beni
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Den zweiten Beitrag fange ich zwar sofort an, aber es dauert ein bisschen, bis er fertig ist.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Di 13.01.2009 | | Autor: | blange |
Vielen Dank für die tolle Hilfe. Mathematisch geht alles super gut auf, die Höhe H lässt sich berechnen. Leider ist es aber so, dass ich einen Überlegungsfehler bei der Konzipierung der Frage gemacht habe. Da ich nur den volumetrischen Wassergehalt aufgezeichnet habe, fehlt mir die wirkliche Wassersäule, die ist auch von der Saugspannung abhängig. Aus meinen Daten lässt sich H somit nicht berechnen... Aber evt. werden wir das bei der nächsten Messreihe durchführen können.
Nochmals vielen Dank und Gruss, Beni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Di 13.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Beni,
ich habe mich zwischendurch tatsächlich schon gefragt, wozu ich hier nach einer Lösung gesucht habe und ob Du das jemals lesen wirst. Eine kurze Eingangsbestätigung wäre nett, wenn Du noch mehr so, äh, mühsame Fragen hast. 
Ansonsten wie bei ebay: jederzeit gern wieder.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
|
