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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 08.07.2006 | | Autor: | droller |
| Aufgabe | Für welche Zahlen [mm] \lambda [/mm] hat das Gleichungssystem
2x + y + z = 0
-2 [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y + 9z = 6
2x + 2y + [mm] \lambda [/mm] z = 1
a) genau eine Lösung,
b) unendlich viele Lösungen,
c) keine Lösung?
Geben Sie in den Fällen a) und b) jeweils die Lösungsmenge an. Wie lautet im Fall b) die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems? |
Ich hab da jetzt die Determinante von [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ -2 \lambda & \lambda & 9 \\ 2 & 2 & \lambda } [/mm] berechnet und =0 gesetzt. Dann bekomme ich [mm] \lambda [/mm] 1 = 3 und [mm] \lambda [/mm] 2 = - [mm] \bruch{3}{2}. [/mm] Dann hab ich die zwei [mm] \lambda [/mm] ins Gleichungsystem eingesetzt und herausgefunden, dass bei 3 unendlich viele Lösungen sind und bei [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] keine Lösungen. Aber wie mach ich jetzt das mit den Lösungsmengen und das mit dem homogenen Gleichungssystem?
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> Für welche Zahlen [mm]\lambda[/mm] hat das Gleichungssystem
> 2x + y + z = 0
> -2 [mm]\lambda[/mm] x + [mm]\lambda[/mm] y + 9z = 6
> 2x + 2y + [mm]\lambda[/mm] z = 1
>
> a) genau eine Lösung,
> b) unendlich viele Lösungen,
> c) keine Lösung?
>
> Geben Sie in den Fällen a) und b) jeweils die Lösungsmenge
> an. Wie lautet im Fall b) die Lösungsmenge des zugehörigen
> homogenen Gleichungssystems?
> Ich hab da jetzt die Determinante von [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ -2 \lambda & \lambda & 9 \\ 2 & 2 & \lambda }[/mm]
> berechnet und =0 gesetzt. Dann bekomme ich [mm]\lambda[/mm] 1 = 3
> und [mm]\lambda[/mm] 2 = - [mm]
das ist richtig.
Die Matrix ist für diese beiden Werte nicht invertierbar.
Die Lösungen der Gleichungssysteme bekommst Du mittels Gauß-Algorithmus
Kontrollergebnis
[mm] \pmat{ 2&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&2\,\lambda&9+\lambda&6\\\noalign{\medskip}0&0&1/2\,{\frac {2\,{\lambda}^{2}-9-3\,
\lambda}{\lambda}}&{\frac {\lambda-3}{\lambda}}}
[/mm]
für [mm] $\lambda [/mm] =3$
[mm] \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&6&12&6
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0 \end{array} \right] [/mm]
mit dem Lösungsvektor
[mm] \left[ \begin{array}{c} t_{{1}}\\\noalign{\medskip}-4\,t_{{1}}-1
\\\noalign{\medskip}2\,t_{{1}}+1\end{array} \right] [/mm]
[mm] $t_1$ [/mm] ist mein freier Parameter
Homogen nennt man ein Gleichungssystem, dessen Ergebnisvektor der Nullvektor ist.
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 So 09.07.2006 | | Autor: | droller |
O.K. so weit bin ich jetzt auch gekommen. Aber was bedeutet zu b) gehörendes homogenes Gleichungssystem? Das ist doch auch bei b) ein inhomogenes Gleichungssystem, oder ?
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Hallo!
Es gibt zu jedem inhomogenen Gleichungssystem ein zugehöriges homogenes Gleichungssystem.
Zwischen beiden besteht ein Zusammenhang (der und noch weitere)
Das inhomogene LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene LGS nur trivial lösbar ist, d.h. nur der Nullvektor ist in der Lösungsmenge enthalten.
[mm] $\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 7 \\
\end{array}$
[/mm]
ist ein lineares homogenes LGS. Das zugehörige homogene LGS lautet:
[mm] $\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
\end{array}$
[/mm]
Da solltest Du mal in ein Buch schauen, in dem diese Theorie drinsteht. Oder halt über google.
'Gruß
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 So 09.07.2006 | | Autor: | mathemak |
Sei [mm] $A\,\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und $A [mm] \,\vec{x}=\vec{o}$ [/mm] das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem.
Dann gilt:
1. Die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems ist nie leer, denn homogene lineare Gleichungssysteme sind immer trivial lösbar
2. Sind [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] Lösungen des homogenen System, dann ist auch deren Summe Lösung des Systems:
$ A [mm] \,\vec{x}=\vec{o} \; \wedge [/mm] A [mm] \,\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{o} \; \iff \; A\,(\vec{x}+\vec{y}) [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] $
3. Ist [mm] $\vec{x}$ [/mm] eine Lösung des homogenen Systems, dann ist auch jedes Vielfache von [mm] $\vec{x}$ [/mm] eine Lösung: [mm] ($\lambda \in \R$)
[/mm]
$ [mm] A\,\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{o} \; \iff \, [/mm] A [mm] \,(\lambda \,\vec{x}) [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] $
4. Die Differenz zweier Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems ist eine Lösung
des zugehörigen homogenen Systems:
$ [mm] A\,\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} \; \wedge [/mm] A [mm] \,\vec{y} [/mm] = [mm] \vec{b} \; \iff \; A\,(\vec{x}-\vec{y}) [/mm] = [mm] \vec{o}$
[/mm]
5. Die Summe einer Lösung des inhomogenen Systems und einer Lösung des zugehörigen homogenen Systems ist Lösung des inhomogenen Systems:
$ [mm] A\,\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} \; \wedge \; [/mm] A [mm] \, \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{o} \; \iff A\,(\vec{x}+\vec{y}) [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] $
Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems ergibt sich durch
Addition einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems.
6. Das Gleichungssystem [mm] $A\,\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] ist eindeutig lösbar genau dann, wenn das zugehörige homogene System [mm] $A\,\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{o}$ [/mm] nur trivial lösbar ist. Es gilt dann darüber hinaus [mm] $\mathrm{Rg}(A)=n$.
[/mm]
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