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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper. Man bestimme alle q [mm] \in [/mm] K, für die das lineare Gleichungssystem Ax=b mit
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & q \\ -1 & 0 & 1 } \in K^{3 \times 4}, b=\vektor{1 \\ 1 \\ 3 \\ 1} \in K^{4}
[/mm]
a) keine Lösung
b) genau eine Lösung
c) mehr als eine aber nur endlich viele Lösungen
d) unendlich viele Lösungen
hat.
Hinweis: Die Antwort ist abhängig von K. |
Guten Morgen,
ich habe einige Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.Da steht ja nicht, dass man die Lösungsmenge angeben soll, sondern nur dass man die q angeben soll, für die die Lösungsmenge wie in a,b,c oder d aussieht.
Wir hatten uns dazu mal einen Satz aufgeschrieben:
Seien m,n $ [mm] \in \IN, [/mm] $ A $ [mm] \in K^{m \times n}, [/mm] $ b $ [mm] \in K^{m}. [/mm] $
Seien A' $ [mm] \in K^{m \times n}, [/mm] $ b' $ [mm] \in K^{m} [/mm] $ derart, dass (A'b') aus (Ab) entsteht durch elem. Zeilenop.
Sei r die Anzahl und $ [mm] j_{1},...,j_{r} \in \{1,...,n\} [/mm] $ die Indizes der Stufenspalten von (A'b').
Sei $ [mm] L=\{x \in K^{n}|A\cdot{}x=b\}. [/mm] $ Dann gilt:
1.L $ [mm] \not= \emptyset \gdw [/mm] $ b'_{r+1}=...=b'_{m}=0
2. Angenommen L $ [mm] \not= \emptyset.Dann [/mm] $ gilt:
$ [mm] \forall (x_{j}) [/mm] $ j $ [mm] \in \{1,...,n\}\\{j_{1},...,j_{r}\}: \exists! x_{j1}...x_{jr} \in [/mm] $ K: $ [mm] \vektor{x_{1}... \\ x_{n}} \in [/mm] $ L.
3. L besteht aus genau einem Vektor $ [mm] \gdw [/mm] $ r=n, b'_{r+1}=...=b'_{m}=0.
Ich hab zunächst [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 1 \\ 7 & 8 & q & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 1 } [/mm] auf Stufenform gebracht, wobei ich zwischendurch mit 7 und 3 multipliziert habe und durch 6 geteilt habe, also müsste ich [mm] \IF_{3},\IF_{6} [/mm] und [mm] \IF_{7} [/mm] nochmal getrennt betrachen, für alle anderen Körper gilt:
Stufenform: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & q-9 & 2 }.
[/mm]
Der Rang der Matrix ist r=4. Das heißt es gibt gar kein b'_{r+1}, also kann die Lösungsmenge auch nie leer sein, richtig?
Und da die Matrix eben vollen Rang hat, besteht nach dem Satz oben die Lösungsmenge aus genau einem Vektor.
Aber irgendwie ist das falsch, denn ich muss ja die q's in Abhängigkeit von K angeben.
Ich hab jetzt mal den oberen Satz weggelassen und einfach mal die Lösungsmenge berechnet:
1.Fall: [mm] K=\IR [/mm] oder [mm] K=\IQ.
[/mm]
Für q=9 gibt es keine Lösung und für q [mm] \not= [/mm] 9 gibt es genau eine Lösung.
In diesen Fall können c) oder d) nicht eintreten richtig?
[mm] 2.Fall:K=\IF_{2}:
[/mm]
Für q=1 gibt es mehr als eine,aber endlich viele Lösungen und für q=0 genau eine Lösung.Fall a) oder c) können hier nicht auftreten.
Ist das bis hierhin schonmal richtig?
lg
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Kleiner Tipp:
An deiner Stelle würde ich das LGS auf normale weise erstmal lösen.
Dann erhältst du eine Lösung in Abhängigkeit von q und evt. noch von [mm]x_i, i \in \{1,2,3\}[/mm].
Und dann guckst du dir den Definitionsbereich an... Was fällt da auf...
Ich hoffe, dir hilft das weiter.
Ps: Meine Lösungsmenge (unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet habe):
[mm]L = \{ \vektor{\bruch{2}{q-9} - 1 \\ 1 - \bruch{4}{q-9} \\ \bruch{2}{q-9}} \} [/mm]
Also für $q = 1$ hat das LGS keine Lösung und sonst ist es für jedes $q [mm] \in \IR \backslash \{1\}$ [/mm] definiert.
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