lineares Gleichungssystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:11 So 20.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
| Aufgabe | [mm] A_n:=\pmat{ 2 & -1 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 2 & -1 & ... & ... \\ 0 & ... & \ddots & \vdots & \ddots \\ 0 & ... 0 & ... & -1 & 2 } [/mm]
[mm] (A_n)_{ij}=\begin{cases} 2, & \mbox{für } i=j \\ -1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Läse das LGS [mm] A_4 [/mm] x=b mit [mm] b^T={1,2,3,4} [/mm] mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus. |
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses LGS lösen kann?
Wie man "ganz normale" LGS löst ist mir ja klar, aber bei diesem hier habe ich keine Ahnung.
MfG
Materhegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 So 20.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> [mm]A_n:=\pmat{ 2 & -1 & 0 & ... & 0 \\
-1 & 2 & -1 & ... & ... \\
0 & ... & \ddots & \vdots & \ddots \\
0 & ... 0 & ... & -1 & 2 }[/mm]
>
> [mm](A_n)_{ij}=\begin{cases} 2, & \mbox{für } i=j \\
-1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\
0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> Läse das LGS [mm]A_4[/mm] x=b mit [mm]b^T={1,2,3,4}[/mm] mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses LGS lösen
> kann?
> Wie man "ganz normale" LGS löst ist mir ja klar, aber bei
> diesem hier habe ich keine Ahnung.
das ist doch ein "ganz normales" LGS. Wenn die Aufgabenstellung korrekt ist, sollst du das LGS im Falle n=4, also [mm]A_4*x=b[/mm] lösen. Wenn sieht denn [mm]A_4[/mm] aus?
Wenn du das weißt, kannst du das LGS ganz einfach lösen.
>
> MfG
> Materhegirl
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
und was [mm] A_4 [/mm] ist weiß ich eben nicht genau :(
eigentlich müsste [mm] A_4 [/mm] sein:
[mm] a_4 X=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 }
[/mm]
aber was soll das [mm] b^T=(1,2,3,4) [/mm] bedeuten?
Und mich irritiert dieses [mm] (A_n)_{i,j} [/mm] für 2, -1 0
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 20.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
allgemein haben LGS die Form: [mm]A\cdot{x}=b[/mm]
Dein [mm]b=\vektor{1 \\
2 \\
3 \\
4}[/mm]. [mm]b^t[/mm] ist der transponierte Vektor und nur eine andere Schreibweise. Es ist [mm]x=\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}[/mm].
> und was [mm]A_4[/mm] ist weiß ich eben nicht genau :(
>
> eigentlich müsste [mm]A_4[/mm] sein:
>
> [mm]a_4 X=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & -1 & 0 }[/mm]
nicht ganz. Zweien stehen eben nur auf der Diagonalen!
>
> aber was soll das [mm]b^T=(1,2,3,4)[/mm] bedeuten?
> Und mich irritiert dieses [mm](A_n)_{i,j}[/mm] für 2, -1 0
Da liegt also der Hase im Pfeffer begraben ;)
Allgemein schreibt man ja: [mm]A=(a_{ij})[/mm]
i Zeilenindex, j Spaltenindex. Im Falle einer 4x4-Matrix hieße das:
[mm]A=(a_{ij})\in\IR^{4\times{4}}[/mm]
Ausgeschrieben sieht das so aus:
[mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} } [/mm][mm]=A_4[/mm]
Jetzt steht da:
[mm] (A_n)_{ij}=\begin{cases} 2, & \mbox{für } i=j \\
-1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\
0, sonst \end{cases} [/mm]
Das bezieht sich jetzt auf die [mm]a_{ij}[/mm]:
Wie sieht zum Beispiel [mm]a_{11}[/mm] aus?
Es ist [mm]i=j[/mm], also: [mm]a_{11}=2[/mm]
Wie sieht [mm]a_{12}[/mm] aus? Es ist [mm]|i-j|=|1-2|=1[/mm] und somit [mm]a_{12}=-1[/mm].
Dasselbe machst du jetzt mit allen anderen [mm]a_{ij}[/mm] ebenso und erhälst so dann [mm]A_4[/mm]. Und dann einfach - wie immer -
[mm]A_4*\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}=\vektor{1 \\
2 \\
3 \\
4}[/mm]
mit Gauß lösen.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 20.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
:-( warum mache ich es mir nur immer so kompliziert????
Vielen Dank für die Tipps, jetzt ists einfach 
Mathegirl
|
|
|
| |
|
okay, dann komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] x_1=\bruch{18}{19}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{5}{19}
[/mm]
[mm] x_3=-\bruch{40}{19}
[/mm]
[mm] x_4=\bruch{12}{19}
[/mm]
Stimmt das soweit?
b) betrachte den Fall [mm] n\ge [/mm] 2. Die Matrix [mm] A_n^{(k)} [/mm] = [mm] (a_{ij}^{(k)} [/mm] entsteht aus [mm] A_n [/mm] und die Anwendung von k-1 Schritten des Gaußschen Algorithmus.
Wie sehen die Elemente [mm] a_{kk}^{(k)} [/mm] und [mm] a_{k,k+1}^{(k)} [/mm] für [mm] 1\le k\le [/mm] k aus?
Beweise die vermutung durch vollständige Induktion!
Wie gehe ich an diesen Aufgabenteil ran? Könnt ihr mir Tipps geben? Ich habe keine Ahnung was ich hierbei wie mit vollständiger Induktion zeigen soll.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. deine Lösung ist falsch, ich hab für die [mm] x_i [/mm] nur ganze zahlen raus.
zu b) immer erst mal für n=2,3,4 ausprobieren, für 4 hast dus, wenn dus richtig machst ja schon aus a- dann kommt die Vermutung und der Beweis!
in: Wie sehen die Elemente $ [mm] a_{kk}^{(k)} [/mm] $ und $ [mm] a_{k,k+1}^{(k)} [/mm] $ für $ [mm] 1\le k\le [/mm] $ k aus
musst du dich wohl vertippt haben?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ja sorry, dass muss heißen [mm] 1\le k\le [/mm] n
aber warum stimmt mein Ergebnis nicht?
[mm] A_4=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 }= \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Da habe ich sicher einen Fehler bei [mm] A_4, [/mm] ich hätte auch mit ganzen zahlen gerechnet.
Okay, das habe ich mir auch gedacht, dass ich erstmal für 2,3 einsetze. Aber wie ist das mit den k-1 Schritten bei Gaußschen Algorithmus gemeint? und was bedeutet dieses (k) , dass irritiert mich bei den [mm] A_n^{(k)}!
[/mm]
Danke für die Tipps!
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] A_4 [/mm] ist richtig, also rechne vor!
nachprüfen kannst du deine Lösungen mit http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm, klick unbedingt "immer sofort Erklärungen erzeugen" an.
[mm] A_4^2 [/mm] entseht, wenn du 2 Schritte machst im Gauss A.
[mm] A_n^k [/mm] entsteht, wenn du k schritte machst.
also k=0 A bleibt
k=1 vielfaches der ersten z zu vielfachen der 2.Z addieren, so dass a21 wegfällt
k=2 dritte Zeile mit 2. Zeile
k=3 vierte Zeile mit 3. zeile
usw.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich hab mich wohl verrechnet. Dann ist also
[mm] x_1=4
[/mm]
[mm] x_2=7
[/mm]
[mm] x_3=8
[/mm]
[mm] x_4=6
[/mm]
okay, das mit dem k hab ich nun verstanden. aber wie zeige ich das durch Induktion? ich kann mir auch gerade gar nicht vorstellen, wie die Elemente [mm] a_{kk}^8{(k)} [/mm] und [mm] a_{,k+1}^{(k)} [/mm] aussehen sollen. und warum kk?
Ich weiß im Prinzip was gemeint ist, aber ich kriege es trotzdem nicht hin. Könnt ihr mir vielleicht den Anfang zeigen? Vielleicht kriege ich das dann bis morgen früh zur Abgabe noch irgendwie hin
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_{kk} [/mm] ist ein element auf der diagonalen in der k ten Spalte (oder Reihe) [mm] a_{kk+1} [/mm] steht rechts daneben.
und das k oben hatten wir doch geklärt
Wie sehen die Elemente $ [mm] a_{kk}^{(k)} [/mm] $ und $ [mm] a_{k,k+1}^{(k)} [/mm] $ für $ [mm] 1\le k\le [/mm] $ k
nimm [mm] A_4 [/mm] wie sieht das Element [mm] a_{33}^{3} [/mm] und [mm] a_{34}^{3}
[/mm]
du nimmst [mm] A_4 [/mm] oder [mm] A_n [/mm] machst 3 Gaussschritte und siehst nach wie dann das Diagonalelement in der 3ten Reihe aussiht und das daneben
davor hast du 2 Gausschritte gemacht und das diagonalelement in der 2ten Reihe und das daneben.
dann machst du 4 schritte und siehst eirder das Diagonalelement in der vierten Reihe an usw.
biss a44 isind ja alle Reihen drunter noch nicht betroffen, das was du bei [mm] A_4 [/mm] raushast gilt also auch für [mm] A_n
[/mm]
erst bei [mm] a_{55} [/mm] kommst du in die nächst Reihe und kannst deine vorarbeit zwar benutzen, musst aber einen Schritt weiter, oder gleich die induktion.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ja und genau das wie ich die Induktion formuliere ist das Problem!! So könnte ich das auch formulieren, aber ich wie schreibe ich die IV, den IS usw...das fällt mir bei dieser Aufgabe echt schwer!
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn die [mm] a_{kk} [/mm] und [mm] a_{k,k+1} [/mm] für k=1 bis 4 und ne schöne vermutung.
dann schreib doch einfach die Zeile mit [mm] a_{kk} [/mm] und [mm] a_{k,k+1}hin, [/mm] und die noch jungfäuliche zeile drunter
dann bestimmt man [mm] a_{k+1,k+1} [/mm] daraus.
Zeilen weiter unten und weiter oben spielen beim k+1 ten Schritt doch keine Rolle!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 20.11.2011 | | Autor: | Valerie20 |
> [mm]A_n:=\pmat{ 2 & -1 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 2 & -1 & ... & ... \\ 0 & ... & \ddots & \vdots & \ddots \\ 0 & ... 0 & ... & -1 & 2 }[/mm]
>
> [mm](A_n)_{ij}=\begin{cases} 2, & \mbox{für } i=j \\ -1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> Läse das LGS [mm]A_4[/mm] x=b mit [mm]b^T={1,2,3,4}[/mm] mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus.
>
Das kannst du doch wie ein "ganz normales" LGS lösen.
Du musst dir eben eine 4x4 Matrix deiner gegebenen Matrix betrachten.
b ist transponiert angegeben.
Viel interessanter wäre bei der Aufgabe ohnehin die Determinate...
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses LGS lösen
> kann?
> Wie man "ganz normale" LGS löst ist mir ja klar, aber bei
> diesem hier habe ich keine Ahnung.
>
> MfG
> Materhegirl
|
|
|
|
