lineares Mehrschrittverfahren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 So 11.11.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Man bestimme [mm] \alpha,\beta,\gamma [/mm] so, dass das lineare Mehrschrittverfahren
[mm] \eta_{i+3}-\eta_{i+1}+\alpha(\eta_{i+2}-\eta_{i})=h[\beta{f(x_{i+2},\eta_{i+2})-f(x_{i},\eta_{i})}+\gamma f(x_{i+1},\eta_{i+1})]
[/mm]
die Konsistenzordnung 3 hat. Ist dieses Verfahren auch konvergent? |
Nun wie kann ich diese bestimmen?
Ich verstehe die Aufgabe schon und kann dann auch zeigen, dass das Verfahren konvergent ist bzw. nicht.
Aber ich weiss nicht, wie ich vorgehen soll, um [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] zu finden...
Kann mir jemand helfen? Danke schonmal. mfg :)
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Hallo unibasel,
> Man bestimme [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm] so, dass das lineare
> Mehrschrittverfahren
>
> [mm]\eta_{i+3}-\eta_{i+1}+\alpha(\eta_{i+2}-\eta_{i})=h[\beta{f(x_{i+2},\eta_{i+2})-f(x_{i},\eta_{i})}+\gamma f(x_{i+1},\eta_{i+1})][/mm]
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> die Konsistenzordnung 3 hat. Ist dieses Verfahren auch
> konvergent?
> Nun wie kann ich diese bestimmen?
>
> Ich verstehe die Aufgabe schon und kann dann auch zeigen,
> dass das Verfahren konvergent ist bzw. nicht.
>
> Aber ich weiss nicht, wie ich vorgehen soll, um [mm]\alpha, \beta[/mm]
> und [mm]\gamma[/mm] zu finden...
>
Ausgehend von dem Anfangswertproblem
[mm]y'=f\left(x,y\right), \ y\left(x_{0}}\right)=y_{0}[/mm]
kannst Du den obigen Ausdruck zunächst so schreiben:
[mm]y_{i+3}-y_{i+1}+\alpha(y_{i+2}-y_{i})=h[\beta{f(x_{i+2},y_{i+2})-f(x_{i},y_{i})}+\gamma f(x_{i+1},y_{i+1})][/mm]
, wobei [mm]\eta_{k}=y_{k}[/mm] ist.
Weiterhin ist [mm]y_{k}=y\left(x_{0}+k*h\right), \ x_{k}=x_{0}+k*h[/mm]
Damit schreibt sich obiger Ausdruck wie folgt:
[mm]y\left(x_{0}+\left(i+3\right)*h\right)-y\left(x_{0}+\left(i+1\right)*h\right)+\alpha(y\left(x_{0}+\left(i+2\right)*h\right)-y_{i})[/mm]
[mm]=h[\beta{f(x_{0}+\left(i+2\right)*h,y\left(x_{0}+\left(i+2\right)*h\right))-f(x_{0}+i*h,y\left(x_{0}+i*h\right))}+\gamma f(x_{0}+\left(i+1\right)*h,y\left(x_{0}+\left(i+1\right)*h\right))][/mm]
Und weiter:
[mm]y\left(x_{0}+\left(i+3\right)*h\right)-y\left(x_{0}+\left(i+1\right)*h\right)+\alpha(y\left(x_{0}+\left(i+2\right)*h\right)-y_{i})[/mm]
[mm]=h[\beta{y'(x_{0}+\left(i+2\right)*h)-y'(x_{0}+i*h)}+\gamma y'(x_{0}+\left(i+1\right)*h)][/mm]
Weitere Vereinfachung: [mm]x_{i}=x_{0}+i*h[/mm]:
[mm]y\left(x_{i}+3*h\right)-y\left(x_{i}+h\right)+\alpha(y\left(x_{i}+2*h\right)-y_{i})[/mm]
[mm]=h[\beta{y'(x_{i}+2*h)-y'(x_{i})}+\gamma y'(x_{i}+h)][/mm]
Betrachte dann den Ausdruck
[mm]y\left(x_{i}+3*h\right)-y\left(x_{i}+h\right)+\alpha(y\left(x_{i}+2*h\right)-y_{i})-h[\beta{y'(x_{i}+2*h)-y'(x_{i})}+\gamma y'(x_{i}+h)][/mm]
Entwickle diesen Ausdruck in eine Taylorreihe um [mm]x_{i}[/mm].
> Kann mir jemand helfen? Danke schonmal. mfg :)
Gruss
MathePower
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