links-/rechtskrümmung f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 19.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Wo ist die folgende Funktion links- bzw rechtsgekrümmt?
[mm] f(x)=\arcsin\left(\bruch{1}{1+x^2}\right) [/mm] |
Also ich will die Aufgabe im Rahmen einer Kurvendiskussion machen...
Das Problem ist, dass die Ableitungen sehr kompliziert werden solange ich mich verrechnet habe und wollte wissen ob es eine einfachere Methode gibt...
f(x) ist nicht differenzierbar für [mm] x_0=0.
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\sqrt{1+(\bruch{1}{1+x^2})^2}}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \left(\bruch{1}{\sqrt{1+(\bruch{1}{1+x^2})^2}}\right)'
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*2*\bruch{1}{1+x^2}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
[mm] =\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}
[/mm]
[mm] \left(\bruch{-2*x}{(1+x^2)^2}\right)'
[/mm]
[mm] =\bruch{-2*(1+x^2)^2+2*x*2*(1+x^2)*2x}{(1+x^2)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}
[/mm]
Jetzt kommt die tolle lange 2te Ableitung:
[mm] f''(x)=\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}+\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}
[/mm]
[mm] =\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{(1+x^2)^3}*\left[\bruch{-4*x^2}{(1+x^2)^2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-1}+6*x^2-2\right]
[/mm]
Also der ausgeklammerte Ausdruck müsste für alle x > 0 sein wenn ich mich nicht irre...
Kann man sowas auch auf Anhieb bei dem geklammerten Ausdruck sehen oder muss ich den jetzt auch noch mühselig ausrechnen?
Es tut mir leid, ich verlange hier hoffentlich nicht zu viel von euch beim überprüfen dieser Rechnung, aber vielleicht hat ja trotzdem jemand Lust 
Besten Dank und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Wo ist die folgende Funktion links- bzw rechtsgekrümmt?
>
> [mm]f(x)=\arcsin\left(\bruch{1}{1+x^2}\right)[/mm]
> Also ich will die Aufgabe im Rahmen einer Kurvendiskussion
> machen...
>
> Das Problem ist, dass die Ableitungen sehr kompliziert
> werden solange ich mich verrechnet habe und wollte wissen
> ob es eine einfachere Methode gibt...
>
> f(x) ist nicht differenzierbar für [mm]x_0=0.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm] $f'(x)=\bruch{1}{\sqrt{1\red{+}(\bruch{1}{1+x^2})^2}}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}$ [/mm]
Ui, folgenschwerer Fehler!
Es ist [mm] $\left[\arcsin(z)\right]'=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$
[/mm]
Das würde ich dann aber erstmal riesig vereinfachen, bevor ich mich an die 2.Ableitung machen würde:
[mm] $...=\frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2}-\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^4+2x^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2\cdot{}(x^2+2)}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{|x|\cdot{}\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}=\begin{cases} \frac{-2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x>0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Damit rechne die 2.Ableitung nochmal neu
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\left(\bruch{1}{\sqrt{1+(\bruch{1}{1+x^2})^2}}\right)'[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*2*\bruch{1}{1+x^2}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> [mm]=\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}[/mm]
>
>
>
> [mm]\left(\bruch{-2*x}{(1+x^2)^2}\right)'[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-2*(1+x^2)^2+2*x*2*(1+x^2)*2x}{(1+x^2)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}[/mm]
>
>
> Jetzt kommt die tolle lange 2te Ableitung:
>
> [mm]f''(x)=\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}+\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}[/mm]
>
> [mm]=\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{(1+x^2)^3}*\left[\bruch{-4*x^2}{(1+x^2)^2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-1}+6*x^2-2\right][/mm]
>
> Also der ausgeklammerte Ausdruck müsste für alle x > 0 sein
> wenn ich mich nicht irre...
>
> Kann man sowas auch auf Anhieb bei dem geklammerten
> Ausdruck sehen oder muss ich den jetzt auch noch mühselig
> ausrechnen?
>
> Es tut mir leid, ich verlange hier hoffentlich nicht zu
> viel von euch beim überprüfen dieser Rechnung, aber
> vielleicht hat ja trotzdem jemand Lust
>
> Besten Dank und Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | tedd |
> Hallo tedd,
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> Ui, folgenschwerer Fehler!
>
> Es ist [mm]\left[\arcsin(z)\right]'=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}[/mm]
>
>
> Das würde ich dann aber erstmal riesig vereinfachen, bevor
> ich mich an die 2.Ableitung machen würde:
>
> [mm]...=\frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2}-\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^4+2x^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
>
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2\cdot{}(x^2+2)}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{|x|\cdot{}\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}=\begin{cases} \frac{-2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x>0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> Damit rechne die 2.Ableitung nochmal neu
>
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Argh...
Danke für die Korrektur und den Tipp mit dem vereinfachen. Unten den Term in der Wurzel zu erweitern - daran hätte ich gar nicht gedacht.
Also:
[mm]=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2\cdot{}(x^2+2)}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{|x|\cdot{}\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}=\begin{cases} \frac{-2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x>0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \left((x^2+2)^{\bruch{1}{2}}*(1+x^2)\right)'=\bruch{1}{2}*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*2*x*(1+x^2)+2*x*(x^2+2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =x*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*(1+x^2)+2*x*(x^2+2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =x*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*\left[(1+x^2)+2*(x^2+2)\right]
[/mm]
[mm] =x*\bruch{1}{\sqrt{x^2+2}}*\left[1+x^2+2x^2+4\right]
[/mm]
[mm] =x*\bruch{1}{\sqrt{x^2+2}}*(3*x^2+5)
[/mm]
[mm] =\bruch{3*x^3+5*x}{\sqrt{x^2+2}}
[/mm]
Hoffe das ist soweit richtig...
Dann wäre [mm] f''(x)=\bruch{2*\bruch{3*x^3+5*x}{\sqrt{x^2+2}}}{(x^2+2)*(1+x^2)^2}=\bruch{6x^3+10x}{\sqrt{(x^2+2)^3}*(1+x^2)^2} [/mm] , [mm] \mbox{ für x>0}
[/mm]
und
[mm] f''(x)=\bruch{-6x^3-10x}{\sqrt{(x^2+2)^3}*(1+x^2)^2} [/mm] , [mm] \mbox{ für x<0}
[/mm]
Jetzt sehe ich, dass für beide Fälle f''(x) jeweils positiv ist, da der Nenner immer positiv ist und der Zähler auch wenn man den jeweiligen Definitonsbereich vom 1. und 2. Fall einhält.
Also ist der Graph linksgekrümmt auf [mm] \IR\not=0, [/mm] denn da kann ich keine Aussage machen, stört mich aber auch nicht, weil ich weis, dass dort ein Extremum ist...
Hoffe so stimmt es nun
Supervielen Dank für die Hilfe Schachuzipus!
Und sorry für den Doppelpost... Hatte gedacht ich hätte vergessen auf "Senden" zu drücken, als mein Beitrag nicht sofort erschienen ist.
Gruß,
tedd
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Hallo nochmal,
> > Hallo tedd,
> >
> > Ui, folgenschwerer Fehler!
> >
> > Es ist [mm]\left[\arcsin(z)\right]'=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}[/mm]
> >
> >
> > Das würde ich dann aber erstmal riesig vereinfachen, bevor
> > ich mich an die 2.Ableitung machen würde:
> >
> >
> [mm]...=\frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2}-\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^4+2x^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm]
> >
> >
> >
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2\cdot{}(x^2+2)}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{|x|\cdot{}\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}=\begin{cases} \frac{-2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x>0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Damit rechne die 2.Ableitung nochmal neu
> >
> >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
>
> Argh...
> Danke für die Korrektur und den Tipp mit dem vereinfachen.
> Unten den Term in der Wurzel zu erweitern - daran hätte ich
> gar nicht gedacht.
>
> Also:
>
> [mm]=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2\cdot{}(x^2+2)}{(1+x^2)^2}}}\cdot{}\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{|x|\cdot{}\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}=\begin{cases} \frac{-2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x>0 \\ \frac{2}{\sqrt{x^2+2}\cdot{}(1+x^2)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\left((x^2+2)^{\bruch{1}{2}}*(1+x^2)\right)'=\bruch{1}{2}*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*2*x*(1+x^2)+2*x*(x^2+2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]=x*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*(1+x^2)+2*x*(x^2+2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]=x*(x^2+2)^{-\bruch{1}{2}}*\left[(1+x^2)+2*(x^2+2)\right][/mm]
>
> [mm]=x*\bruch{1}{\sqrt{x^2+2}}*\left[1+x^2+2x^2+4\right][/mm]
>
> [mm]=x*\bruch{1}{\sqrt{x^2+2}}*(3*x^2+5)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3*x^3+5*x}{\sqrt{x^2+2}}[/mm]
>
> Hoffe das ist soweit richtig...
>
>
> Dann wäre
> [mm]f''(x)=\bruch{2*\bruch{3*x^3+5*x}{\sqrt{x^2+2}}}{(x^2+2)*(1+x^2)^2}=\bruch{6x^3+10x}{\sqrt{(x^2+2)^3}*(1+x^2)^2}[/mm]
> , [mm]\mbox{ für x>0}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> und
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-6x^3-10x}{\sqrt{(x^2+2)^3}*(1+x^2)^2}[/mm] ,
> [mm]\mbox{ für x<0}[/mm]
>
> Jetzt sehe ich, dass für beide Fälle f''(x) jeweils positiv
> ist, da der Nenner immer positiv ist und der Zähler auch
> wenn man den jeweiligen Definitonsbereich vom 1. und 2.
> Fall einhält.
>
> Also ist der Graph linksgekrümmt auf [mm] $\IR\red{\setminus\{0\}}$, [/mm] denn da kann ich keine Aussage machen, stört mich aber auch nicht,
> weil ich weis, dass dort ein Extremum ist...
>
> Hoffe so stimmt es nun
Jo, sieht gut aus!
>
> Supervielen Dank für die Hilfe Schachuzipus!
>
> Und sorry für den Doppelpost... Hatte gedacht ich hätte
> vergessen auf "Senden" zu drücken, als mein Beitrag nicht
> sofort erschienen ist.
>
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Di 20.01.2009 | | Autor: | tedd |
Yeah danke :)
Gruß,
tedd
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