links rechtsseitiger Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Phoney |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo.
Gesucht ist der links und rechtsseitige Grenzwert der Funktion f(x) = \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}} für x \rightarrow 1. Im Exponenten von e steht wirklich \br{1}{x-1}!!!
$A^-= \limes_{x\rightarrow1-0} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}}=1$
$A^+= \limes_{x\rightarrow1+0} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}}=0$
Ich bin mir bei meinen Überlegungen, die die richtigen ergebnisse bringen, nicht sicher
$A^-= \limes_{x\rightarrow1-0} \br{1}{1+e^{\br{1}{1-1-0}}}=1$
dann steht im exponenten e^{\br{1}{0-0}} Und das ist minus Unendlich .
\br{1}{1+0} = \br{1}{1} = 1
$A^+= \limes_{x\rightarrow1+0} \br{1}{1+e^{\br{1}{1-1+0}}}=0$
$A^+= \limes_{x\rightarrow1+0} \br{1}{1+e^{+\infty}}}= \br{1}{\infty} =0$
Stimmen da meine ÜBerlegungen? Oder muss man da anders rangehen????
Gruß
Johann
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Hallo Johann,
betrachte nur mal den Ausdruck
[mm] e^\bruch{1}{x-1} [/mm] für [mm]x\to 1[/mm] .
Betrachte nun
[mm] \limes_{x\rightarrow 1+}e^\bruch{1}{x-1}
[/mm]
[mm] =\infty
[/mm]
Da x-1 gegen null konvergiert und 1/0 gegen unendlich.
Anders sieht es bei dem linksseitigen Grenzwert aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1-}e^\bruch{1}{x-1}
[/mm]
=0
Klar warum?
Den Rest entnimmst du Daywalkers Antwort.
Noch Fragen...?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
>
> betrachte nur mal den Ausdruck
>
> [mm]e^\bruch{1}{x-1}[/mm] für [mm]x\to 1[/mm] .
>
> Betrachte nun
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1+}e^\bruch{1}{x-1}[/mm]
> [mm]=\infty[/mm]
>
> Da x-1 gegen null konvergiert und 1/0 gegen unendlich.
>
> Anders sieht es bei dem linksseitigen Grenzwert aus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1-}e^\bruch{1}{x-1}[/mm]
> [mm]=-\infty[/mm]
>
> Klar warum!!??
Nein, eigentlich nicht. Wegen dem 1 minus? Also wegen 1 minus unter dem Limes geht es gegen minus unendlich?
[mm] \limes_{x\rightarrow 1-}e^\bruch{1}{x-1}[/mm]
[/mm]
> [mm][mm] =-\infty
[/mm]
>
> Für den gesamten Ausdruck lässt sich nun schwer eine
> Aussage über Konvergenz treffen, weil was ist denn
> [mm]1/(1+\infty)[/mm] ??
>
> Noch Fragen...?
Ja, ich weiß nicht mal was Konvergenz ist??? Und was heißt das jetzt für das Ergebnis?
[mm] 1/(1+\infty) [/mm] und das geht gegen Null?
Ich schnall nix, aber danke trotzdem für den Versuch.
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Hi erstmal...
Dann versuche ich es mal 
Diese Funktion f(x) = [mm] \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}} [/mm] war ja gegeben, und man sollte das Konvergenzverhalten der Funktion für x gegen 1 untersuchen (von der linken und von der rechten Seite).
KOnvergenz bedeutet einfach folgendes:
HIer soll x gegen 1 gehen, und du sollst jetzt untersuchen, wogegen dann das f(x) geht.
Du setzt für x dann natürlich cnith direkt 1, sondern du näherst dich der 1 beliebig nahe zunähst von rechts (1.Fall) und dann von links (2.Fall).
So, was bedeutet jetzt das "beliebig nahe annähern"? (hört sich wirklich im ersten MOment komisch an  )
Du musst dir einfach vorstellen, dass du Werte für x einsetzt die fast 1 sind.
1. Fall
Wenn du dich von rechts nähern willst, nimmst du zahlen die ein bisschen über der 1 liegen (rechts, weil man zahlen nimmt, die rechts von der 1 auf dem Zahlenstrahl liegen), z.b. 1,001 und schaust, was dann mit diesen Bruch passiert. Du musst dir eigentlich nur 2 Sachen merken. Das erkläre ich dir an einem leichteren Beispiel:
Sei z.B. die Fkt [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gegeben.
So, wenn du jetzt x von rechts gegen Null gehen lässt, geht das gesamte gegen + unendlich. Warum? ganz einfach:
Um sich das vorzustellen, setze für den Begriff "gegen null" einfach Zahlen, die sehr nahe an null dran liegen, aber rechts von ihr liegen: Z.b. 1/10 . Diese Zahl wird dann durch den Bruch zu 10. Aber 1/10 ist ja noch nicht so nahe an null, also gehen wir noch weiter an die null heran, Z.b. durch 1 /100 . Das wird dann zu 100, und jetzt du merkst shcon wie es weietr geht. Je näher du dich der null näherst (1/10 ; 1/100; 1/1000 usw), desto größer wird die Zahl.
Also gilt allgemein: Wenn der Zähler gegen eine Konstante Zahl geht (z.b. 1) und der nenner gegen null, geht das gesamte gegen + unendlich. (wenn etwas gegen +unendlich oder -unendlch geht, spricht man nciht mehr von Konvergenz, sondern von Divergenz, aber das nur am Rande; ist für dich nicht so wichtig).
JEtzt kann man das gleiche SPiel bei diesem Beispiel auch machen, wenn man sich der Null von links nähert. Das bedeutet man nimmt Zahlen die ganz knapp links von der Null liegen, also - 1/10, - 1/100 , -1/1000 usw. Diese zahlen gehen natürlich dann gegen -10, -100, -1000 usw, also gegen minus unendlich, weil der Bruch das Vorzeichen ja ncith verchwinden lässt.
Nun kann man sich ja fragen, was hier an diesem Beispiel passiert, wenn man x nciht gegen 0 sondern gegen unendlich gehen lässt.
Dann ist man schon bei der zweiten Sache die man sich merken muss: Wenn der Zähler eine Konstante Zahl ist oder selbst gegen null geht, und der Nenner gegen plus unendlich, geht das gesamte gegen Null... Das kannman sich auch anhand des Beispiels sehr gut klar machen:
Der Zähler war hier eine Konstante, nämlich 1. So, und jeztt geht x gegen unendlich. Das bedeutet, dass man sich für x extrem große Zahlen vorstellen muss. Also 100, 1000, 10000 usw, und man schaut sich an, was dann mit dem Gesamten passiert. ja, wenn Der Zähler 1 ist, und du teilst jetzt durch große Zahlen, wird die Zahl, die herauskommt auch immer kleiner, und nähert sich eben so beliebig nahe der Null.
Und jetzt zurück zu den Aufgabe, die jetzt kein großes Problem mehr seien wird..
Ok, betrachten wir erst den Fall, das man sich der 1 von rechts nähert.
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow1+} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}}
[/mm]
Das Pluszeichen hinter der 1 bedeutet einfach nur, dass man sich zunähcts der 1 von rechts nähert, also sich Zahlen für x vostellt, die einen tick über 1 liegen...
Im Zähler haben wir eine 1, und der bleibt auch 1. Um den müssen wir uns also erstmal nciht kümmern. Bleibt der Nenner:
[mm] \limes_{x\rightarrow1+} [/mm] ( [mm] 1+e^{\br{1}{x-1}} [/mm] )
JEtzt muss man nur noch wissen wie die e-Fkt aussieht. Im Exponenten haben wir den Bruch [mm] \bruch{1}{x-1}. [/mm] Was passiert mit dem Bruch, wenn man x gegen 1 von rechts nähert? Wir stellen uns also für x Zahlen vor, die knapp über 1 sind, also 1,1; 1,01; 1,001 usw.
So, und da steht jetzt, dass wir von diesen Zahlen 1 abziehen. Also bleibt immer noch etwas übrig, auch wenn dieser Rest extrem klein ist. Erst 0,1 , dann 0,01 , dann 0,001 usw (irgendwann auch 0,0000000000000000000000000000000000000000001 ). Das heißt, der Nenner in diesem Exponenten geht eindeutig gegen null, also Zahlen, die knapp über der null liegen, aber auch noch positiv sind.
Also geht der gesamte Exponent gegen + unendlich (wie in meinem Beispiel).
JEtzt müssen wir schauen, wie die e-Fkt reagiert, wenn man Zahlen einsetzt , die beliebig groß sind. Wenn du dir die e-Fkt zeichnest sieht man schon die Antwort. Die e-Fkt wächst für werte gegen + unendlich beliebig hoch. Sie steigt ins unermessliche...^^ zu diesen Wert, den die e-fkt ausspuckt addieren wir ja noch +1 (die steht ja auch noch im Nenner des gesamten Bruchs). Aber bei so großen Zahlen spielt die 1 praktisch keine Rolle; also geht der gesamte Nenner gegen + unendlich.
JEtzt haben wir einen Zähler, der konstant 1 ist, und einen Nenner, der gegen +unendich strebt, also geht das gesamte gegen 0 (den fall, hatten wir ja shcon in meinem leichteren BEispiel^^).
Also haben wir ingesamt:
Rechtsseitige Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow1+} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}} [/mm] = 0
So, und jetzt müssen wir das gleiche Spiel noch für den linksseitigen Grenzwert machen. Ich würde vorschlagen, dass du das mal allein versuchst, und deinen Lösungsweg hierein schreibst.
Gruß, Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallöle.
> Hi erstmal...
> Dann versuche ich es mal
Das war eine sehr gute Antwort. Eigentlich sogar perfekt. Ich konnte alles nachvollziehen.
Ok, betrachten wir erst den Fall, das man sich der 1 von links nähert.
Also:
[mm]\limes_{x\rightarrow1-} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}}[/mm]
Im Zähler haben wir eine 1, und der bleibt auch 1. Um den müssen wir uns also erstmal nciht kümmern. Bleibt der Nenner:
[mm]\limes_{x\rightarrow1-}[/mm] ( [mm]1+e^{\br{1}{x-1}}[/mm] )
Im Exponenten haben wir den Bruch [mm]\bruch{1}{x-1}.[/mm] Was passiert mit dem Bruch, wenn man x gegen 1 von links nähert? Wir stellen uns also für x Zahlen vor, die knapp unter 1 sind, also 0,9; 0,99; 0,999 usw. So, und da steht jetzt, dass wir von diesen Zahlen 1 abziehen. Also bleibt immer noch etwas übrig, auch wenn dieser Rest extrem klein ist. Erst -0,1 , dann -0,01 , dann -0,001 usw (irgendwann auch -0,0000000000000000000000000000000000000000001 ). Das heißt, der Nenner in diesem Exponenten geht eindeutig gegen null, also Zahlen, die knapp unter der null liegen. Also geht der gesamte Exponent gegen - unendlich
Die e-Fkt geht für werte gegen - unendlich gegen null. zu diesen Wert, den die e-fkt ausspuckt addieren wir ja noch +1 (die steht ja auch noch im Nenner des gesamten Bruchs).
Also wenn die Efunktion da gegen Null läuft, kommen wir auf
[mm] \limes_{x\rightarrow1-} \br{1}{1}=1
[/mm]
Aber matschemetschz sagt
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1+}e^\bruch{1}{x-1} =\infty [/mm] $
Da x-1 gegen null konvergiert und 1/0 gegen unendlich.
So weit auch logisch, aber nun
Anders sieht es bei dem linksseitigen Grenzwert aus:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1-}e^\bruch{1}{x-1} =-\infty [/mm] $
Soll das heißen nur der exponent? Da steht aber, dass die gesamte Efunktion dann so verläuft.
Vielen vielen vielen dank Fabian.
Gruß Phoney
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> Hallöle.
>
> Das war eine sehr gute Antwort. Eigentlich sogar perfekt.
> Ich konnte alles nachvollziehen.
Danke für das Kompliment...
>
> Ok, betrachten wir erst den Fall, das man sich der 1 von
> links nähert.
> Also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-} \br{1}{1+e^{\br{1}{x-1}}}[/mm]
>
>
> Im Zähler haben wir eine 1, und der bleibt auch 1. Um den
> müssen wir uns also erstmal nciht kümmern. Bleibt der
> Nenner:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}[/mm] ( [mm]1+e^{\br{1}{x-1}}[/mm] )
> Im Exponenten haben wir den Bruch [mm]\bruch{1}{x-1}.[/mm] Was
> passiert mit dem Bruch, wenn man x gegen 1 von links
> nähert? Wir stellen uns also für x Zahlen vor, die knapp
> unter 1 sind, also 0,9; 0,99; 0,999 usw. So, und da
> steht jetzt, dass wir von diesen Zahlen 1 abziehen. Also
> bleibt immer noch etwas übrig, auch wenn dieser Rest extrem
> klein ist. Erst -0,1 , dann -0,01 , dann -0,001 usw
> (irgendwann auch
> -0,0000000000000000000000000000000000000000001 ). Das
> heißt, der Nenner in diesem Exponenten geht eindeutig gegen
> null, also Zahlen, die knapp unter der null liegen. Also
> geht der gesamte Exponent gegen - unendlich
> Die e-Fkt geht für werte gegen - unendlich gegen null. zu
> diesen Wert, den die e-fkt ausspuckt addieren wir ja noch
> +1 (die steht ja auch noch im Nenner des gesamten Bruchs).
> Also wenn die Efunktion da gegen Null läuft, kommen wir
> auf
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-} \br{1}{1}=1[/mm]
>
Vollkommen richtig und sehr gut begründet... Abetr so aussführlich musst du es ncith imer begründen... Es reicht häufig zu schreiben:
Exponent von der e-fkt geht gegen - unendlich, also geht e-fkt gegen null usw... Streng mathematisch ist es falsch, Beispielszahlen zu nehmen (in deiner Begründung). Mach das nur auf dem "Schmierzettel" als gedankliche Hilfe...
> Aber matschemetschz sagt
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1+}e^\bruch{1}{x-1} =\infty[/mm]
>
> Da x-1 gegen null konvergiert und 1/0 gegen unendlich.
>
> So weit auch logisch, aber nun
>
> Anders sieht es bei dem linksseitigen Grenzwert aus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1-}e^\bruch{1}{x-1} =-\infty[/mm]
>
> Soll das heißen nur der exponent? Da steht aber, dass die
> gesamte Efunktion dann so verläuft.
matschemetschz's Lösung war nicht ganz komplett... Er hatte sich nur um den Exponennten gekümmert, cnith den gesamten bruch der Funktion...
>
> Vielen vielen vielen dank Fabian.
>
>
> Gruß Phoney
Kein Problem
Gruß, Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo,
Vielen vielen vielen Dank für diese supertolle Erkärung. Die bringt mich echt weiter!
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Hallo leduart, phoney,
da war ich etwas voreilig. Habe meine Antwort editiert.
VG Daniel
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