lipschitz-stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Forum. Ich habe eine Frage bezüglich einer Zusatzaufgabe die uns unser Mathe-Prof gestellt hat. Wir haben noch nicht viel dazu gemacht und ich stehe etwas auf dem Schlauch, würde die Aufgabe trotzdem gerne lösen.
Es geht um die Lipschitz-Stetigkeit: Es sei f:[a,b] [mm] \to\IR [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion. Zu Zeigen, dass f auf [a,b] Lipschitz-stetig ist.
Als Hinweis ist noch gegeben das man die Dreiecksungleichung sowie Hauptsatz von Differential- und Integralrechnung verwenden soll.
Ich hab mir soweit gedacht: | f(x) -f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| ist die Ausgangsgleichung. Ich habe gefunden das f genau dann lipschitzstetig ist, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
Wie zeige ich das ? Muss ich partiell jeweils ableiten und sehen das die Ableitung beschränkt ist?
Ich hoffe ihr könnt mir Tipps geben und mir helfen. Vielen Dank !
Liebe Grüße
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo liebes Forum. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> Zusatzaufgabe die uns unser Mathe-Prof gestellt hat. Wir
> haben noch nicht viel dazu gemacht und ich stehe etwas auf
> dem Schlauch, würde die Aufgabe trotzdem gerne lösen.
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> Es geht um die Lipschitz-Stetigkeit: Es sei f:[a,b] [mm]\to\IR[/mm]
> eine stetig differenzierbare Funktion. Zu Zeigen, dass f
> auf [a,b] Lipschitz-stetig ist.
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> Als Hinweis ist noch gegeben das man die
> Dreiecksungleichung sowie Hauptsatz von Differential- und
> Integralrechnung verwenden soll.
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> Ich hab mir soweit gedacht: | f(x) -f(y)| [mm]\le[/mm] L|x-y| ist
> die Ausgangsgleichung. Ich habe gefunden das f genau dann
> lipschitzstetig ist, wenn ihre erste Ableitung beschränkt
> ist.
Der Ansatz ist schonmal der richtige.
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> Wie zeige ich das ? Muss ich partiell jeweils ableiten und
> sehen das die Ableitung beschränkt ist?
f' ist eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige Funktion und als solche beschränkt.
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> Ich hoffe ihr könnt mir Tipps geben und mir helfen. Vielen
> Dank !
> Liebe Grüße
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Okay ! Also ich habe mir jetzt ein bisschen was aufgeschrieben und würde gerne wissen ob das richtig ist bzw. der richtige Weg.
Mit:
> f' ist eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige
> Funktion und als solche beschränkt.
|f(x)-f(y)| = | f' |*|x-y| [mm] \le [/mm] L*|x-y|
Dann: [mm] \exists \varepsilon \in [/mm] [a,b]
[mm] \bruch{|f(x)-f(\varepsilon)|}{|x-\varepsilon|} \le [/mm] L
Daraus folgt das f lipschitz-stetig ist mit L als obere Schranke.
Kann man das so daraus folgern?
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> Okay ! Also ich habe mir jetzt ein bisschen was
> aufgeschrieben und würde gerne wissen ob das richtig ist
> bzw. der richtige Weg.
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> Mit:
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> > f' ist eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetige
> > Funktion und als solche beschränkt.
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> |f(x)-f(y)| = | f' |*|x-y| [mm]\le[/mm] L*|x-y|
Das sollte man schon etwas genauer begründen, etwa so:
|f(y)-f(x)| = [mm] |\int_x^yf'(t)dt| \le \int_x^y|f'(t)|dt \le [/mm] L|x-y|, wenn gilt [mm] |f'(t)|\le [/mm] L für alle [mm] t\in[a,b]
[/mm]
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> Dann: [mm]\exists \varepsilon \in[/mm] [a,b]
>
> [mm]\bruch{|f(x)-f(\varepsilon)|}{|x-\varepsilon|} \le[/mm] L
Wozu du das [mm] \varepsilon [/mm] jetzt noch brauchst, ist mit nicht klar. Die obere Ungleichung [mm] |f(y)-f(x)|\le [/mm] L|y-x| reicht doch eigentlich schon aus.
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> Daraus folgt das f lipschitz-stetig ist mit L als obere
> Schranke.
> Kann man das so daraus folgern?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo liebes Forum. Ich habe eine Frage bezüglich einer
> Zusatzaufgabe die uns unser Mathe-Prof gestellt hat. Wir
> haben noch nicht viel dazu gemacht und ich stehe etwas auf
> dem Schlauch, würde die Aufgabe trotzdem gerne lösen.
>
> Es geht um die Lipschitz-Stetigkeit: Es sei f:[a,b] [mm]\to\IR[/mm]
> eine stetig differenzierbare Funktion. Zu Zeigen, dass f
> auf [a,b] Lipschitz-stetig ist.
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> Als Hinweis ist noch gegeben das man die
> Dreiecksungleichung sowie Hauptsatz von Differential- und
> Integralrechnung verwenden soll.
Der Mittelwertsatz reicht völlig:
f' ist stetig auf [a,b], also dort auch beschränkt. Somit gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|f'| [mm] \le [/mm] L auf [a,b].
Zu x,y [mm] \in [/mm] [a,b] gibt es ein [mm] \xi [/mm] zwischen x und y mit : [mm] f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y).
[/mm]
Dann folgt: |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|.
FRED
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> Ich hab mir soweit gedacht: | f(x) -f(y)| [mm]\le[/mm] L|x-y| ist
> die Ausgangsgleichung. Ich habe gefunden das f genau dann
> lipschitzstetig ist, wenn ihre erste Ableitung beschränkt
> ist.
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> Wie zeige ich das ? Muss ich partiell jeweils ableiten und
> sehen das die Ableitung beschränkt ist?
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> Ich hoffe ihr könnt mir Tipps geben und mir helfen. Vielen
> Dank !
> Liebe Grüße
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