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| Aufgabe | gegeben ist die funktion [mm] f(x)=ln(2-\bruch{t}{e^{x}}) [/mm] mit t ungleich 0;
a) bestimmen Sie für t>0 die maximale definitionsmenge und, falls vorhanden, die schnittpunkte mit den koordinatenachsen.
b)zeigen sie, dass die funktion für t<0 umkehrbar ist und geben sie für die umkehrfunktion einen term, die definitionsmene und die wertemenge an! |
zu a)
der logarithmand (oder wie das heißt:) darf nicht negativ sein, oder? dann hab ich raus: x muss größer oder gleich [mm] ln\bruch{t}{2} [/mm] sein. stimmt das?
und zu den schnittpunkten mit den koordinatenachsen:
wenn der term in der klammer 1 wird, ist ln1=0, also eine nullstelle, oder? als nullstelle hab ich dann den punkt P(lnt;0). stimmt das?
für die y-achse muss ich ja x=0 setzen, oder? dann kommt bei mir der punkt p(0;ln(2-t)) raus. stimmt das?
zu b)
dazu muss ich ja die erste ableitung bilden und das monotonieverhalten anschaun, oder? aber es hat ewig gedauert, bis ich die erste ableitung hatte und dann war es auch noch ein ewig langer doppelbruch...und da konte ich dann keine monotonie erkennen...also wie geht das denn?
zum term der umkehrfunktion...
ich hab als umkehrfunktion
[mm] y=ln(\bruch{t}{2-e^{x}}) [/mm] stimmt das so?
ist die definitionsmenge dann R ohne ln2? oder noch weiter eingeschränkt, da ja der logarithmand nicht negativ sein darf, oder? aber wie lautet dann D?
und die wertemenge?
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Hi, mickeymouse,
> gegeben ist die funktion [mm]f(x)=ln(2-\bruch{t}{e^{x}})[/mm] mit t
> ungleich 0;
> a) bestimmen Sie für t>0 die maximale definitionsmenge
> und, falls vorhanden, die schnittpunkte mit den
> koordinatenachsen.
> b)zeigen sie, dass die funktion für t<0 umkehrbar ist und
> geben sie für die umkehrfunktion einen term, die
> definitionsmene und die wertemenge an!
> zu a)
> der logarithmand (oder wie das heißt:)
Man nennt das "Argument" des Logarithmus!
> darf nicht negativ sein, oder? dann hab ich raus: x muss größer oder gleich [mm]ln\bruch{t}{2}[/mm] sein. stimmt das?
Nicht ganz! Denn =0 darf das Argument auch nicht sein!
Drum eindeutig: D= ] ln(t/2) ; [mm] +\infty [/mm] [
> und zu den schnittpunkten mit den koordinatenachsen:
> wenn der term in der klammer 1 wird, ist ln1=0, also eine
> nullstelle, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> als nullstelle hab ich dann den punkt P(lnt;0). stimmt das?
Bis auf die Begriffe:
x=ln(t) ist die "Nullstelle";
P(ln(t); 0) ist der "Schnittpunkt" mit der x-Achse!
> für die y-achse muss ich ja x=0 setzen, oder? dann kommt
> bei mir der punkt p(0;ln(2-t)) raus. stimmt das?
Aber nur unter der Voraussetzung, dass 2 - t > 0, also t < 2 ist
(mit t > 0 ergibt das insgesamt: 0 < t < 2)
Für t [mm] \ge [/mm] 2 gibt es demnach KEINEN solchen Schnittpunkt
> zu b)
> dazu muss ich ja die erste ableitung bilden und das
> monotonieverhalten anschaun, oder?
> aber es hat ewig
> gedauert, bis ich die erste ableitung hatte und dann war es
> auch noch ein ewig langer doppelbruch...und da konte ich
> dann keine monotonie erkennen...also wie geht das denn?
Musst am besten den Funktionsterm erst mal umformen:
f(x) = ln(2 - [mm] \bruch{t}{e^{x}})
[/mm]
= [mm] ln(\bruch{2e^{x}-t}{e^{x}})
[/mm]
= [mm] ln(2e^{x}-t) [/mm] - [mm] ln(e^{x})
[/mm]
= [mm] ln(2e^{x}-t) [/mm] - x
Nun geht die Ableitung viel einfacher:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2e^{x}-t}*2e^{x} [/mm] - 1
= [mm] \bruch{2e^{x} - (2e^{x}-t)}{2e^{x}-t}
[/mm]
= [mm] \bruch{t}{2e^{x}-t}
[/mm]
Naja, und weil t < 0 ist, ist der Nenner immer > 0, der Zähler natürlich immer < 0, der gesamte Ausdruck daher < 0 und die Funktion mithin echt monoton abnehmend und daher umkehrbar.
> zum term der umkehrfunktion...
> ich hab als umkehrfunktion
> [mm]y=ln(\bruch{t}{2-e^{x}})[/mm] stimmt das so?
> ist die definitionsmenge dann R ohne ln2? oder noch weiter
> eingeschränkt, da ja der logarithmand nicht negativ sein
> darf, oder? aber wie lautet dann D?
> und die wertemenge?
Diesen Teil rechne jetzt mal Du etwas ausführlicher vor, denn ich krieg beim Eintippen der vielen Bruchterme schon "Blasen am Zeigefinger"!
mfG!
Zwerglein
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vielen dank für die ausführliche antwort!
ja, das eingeben von den brüchen mag ich auch nicht besonders:)
also, mal schaun...
zuerst mach ich den variablentausch:
[mm] ln(2-\bruch{t}{e^{y}}=x
[/mm]
dann exponier ich das ganze ->
[mm] 2-\bruch{t}{e^{y}}=e^{x} [/mm] ->
[mm] e^{y}=\bruch{t}{2-e^{x}} [/mm] ->
[mm] y=ln(\bruch{t}{2-e^{x}}
[/mm]
ist das richtig?
und für die defintionsmenge schau ich dann wieder, wann das argument negativ oder null werden würde und das schließ ich dann aus, oder? und die wertemenge ist doch egtl die definitionsmenge der ausgangsfunktion, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Do 28.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, mickeymouse,
> zuerst mach ich den variablentausch:
> [mm]ln(2-\bruch{t}{e^{y}}=x[/mm]
> dann exponier ich das ganze ->
> [mm]2-\bruch{t}{e^{y}}=e^{x}[/mm] ->
> [mm]e^{y}=\bruch{t}{2-e^{x}}[/mm] ->
> [mm]y=ln(\bruch{t}{2-e^{x}}[/mm]
> ist das richtig?
Kann keinen Fehler finden!
> und für die defintionsmenge schau ich dann wieder, wann das
> argument negativ oder null werden würde und das schließ ich
> dann aus, oder? und die wertemenge ist doch egtl die
> definitionsmenge der ausgangsfunktion, oder?
Genau! Daher bestimmt man die auch VORHER, denn es kommt vor, dass man sich bei der Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion zwischen zwei Termen entscheiden muss. Dies geschieht dann eben mit Hilfe der Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion.
Also: D(f) = [mm] \IR [/mm] = [mm] W(f^{-1}) [/mm] (t < 0 !!)
und W(f) = ] ln(2) ; [mm] +\infty [/mm] [ = [mm] D(f^{-1})
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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