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| Aufgabe | gegeben ist die funktion [mm] f(x)=ln(\bruch{x-2}{3x}) [/mm] mit D=R ohne [0;2]
a)bestimmen sie die nullstelle und das verhalten von f an den grenzen des definitionsbereiches
b)bestimmen sie das monotonieverhalten von f |
zu a)
als nullstelle hab ich P(-1;0)
zu den nullstellen...kann ich denn l´hospital anwenden, wenn ln vorkommt? voraussetzung für l´hospital ist doch, dass man einen bruch der art [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] oder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] hat...aber wenn jetzt noch ln vorne dran steht?
zu b)
dazu brauch ich ja die erste ableitung...und da kommt bei mir raus:
[mm] \bruch{9x^{2}-9x}{9x^{3}-18} [/mm] ist das so richtig?
aber wie bestimme ich das monotonieverhalten? was mach ich denn, wenn es nicht durchgängig nur steigend bzw. fallend ist? wie finde ich die werte, die das einschränken, also dass ich sagen kann: von ... bis ... ist es str. monoton steigend ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mickeymouse!
Du kannst Dir die Ableitungen stark vereinfachen, wenn Du zunächst ein  Logarithmusgesetz anwendest:
$f(x) \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{x-2}{3x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x-2)-\ln(3x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x-2)-\ln(x)-\ln(3)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Loddar,
> Du kannst Dir die Ableitungen stark vereinfachen, wenn Du
> zunächst ein Logarithmusgesetz anwendest:
>
> [mm]f(x) \ = \ \ln\left(\bruch{x-2}{3x}\right) \ = \ \ln(x-2)-\ln(3x) \ = \ \ln(x-2)-\ln(x)-\ln(3)[/mm]
Vorsicht!
Diese Umformung gilt nur für x > 2!
Die Definitionsmenge ist jedoch [mm] \IR [/mm] \ [0; 2]
mfG!
Zwerglein
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Hallo mickeymouse!
> gegeben ist die funktion [mm]f(x)=ln(\bruch{x-2}{3x})[/mm] mit D=R
> ohne [0;2]
> a)bestimmen sie die nullstelle und das verhalten von f an
> den grenzen des definitionsbereiches
> b)bestimmen sie das monotonieverhalten von f
> zu a)
> als nullstelle hab ich P(-1;0)
> zu den nullstellen...kann ich denn l´hospital anwenden,
> wenn ln vorkommt? voraussetzung für l´hospital ist doch,
> dass man einen bruch der art [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] oder
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] hat...aber wenn jetzt noch ln vorne dran
> steht?
Ne - l'Hospital kannst du nur anwenden, wenn die "äußerste" Funktion ein Bruch ist. Und hier ist das äußerste ja der Logarithmus...
> zu b)
> dazu brauch ich ja die erste ableitung...und da kommt bei
> mir raus:
> [mm]\bruch{9x^{2}-9x}{9x^{3}-18}[/mm] ist das so richtig?
Nein. Ich erhalte: [mm] \frac{2}{x(x-2)}. [/mm] Poste doch mal deinen Rechenweg.
> aber wie bestimme ich das monotonieverhalten? was mach ich
> denn, wenn es nicht durchgängig nur steigend bzw. fallend
> ist? wie finde ich die werte, die das einschränken, also
> dass ich sagen kann: von ... bis ... ist es str. monoton
> steigend ?
Diese Werte findest du genau durch die Nullstellen der Ableitung. Es gilt: Dort, wo die Ableitung =0 ist, kann sich die Monotonie von fallend zu steigend oder umgekehrt ändern (dies ist genau dann der Fall, wenn die zweite Ableitung > 0 bzw. < 0 ist). Für die Intervalle selbst gilt einfach: Wenn die erste Ableitung positiv ist, ist die Funktion steigend, ist die Ableitung negativ, ist die Funktion fallend.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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hab die ableitung nochmal gerechnet und hatte dann das selbe raus wie du! danke für eure hilfe:)
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