ln Funktion die Zweite < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 04.03.2004 | | Autor: | Silence |
Hiho, ich bins nochmal ;)
Unser Mathelehrer hat uns die beiden folgenden Aufgaben bis nächsten MO als Hausaufgabe aufgegeben. Die Aufgaben beziehen sich auf die gleiche Funktion ( f(x)=x*(ln(x)-2)²) die ich schonmal hier gepostet hatte.
1.: Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet die x-Achse im Punkt P und K im Punkt Q. O Sei der Koordinatenursprung. Berechnen sie für 0 < u < e² denjenigen Wert für u, für den der Flächeninhalt des Dreiecks DeltaOPQ maximal wird. ( Vergessen Sie die Randbetrachtung nicht.)
Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt.
Ich hab dann wie folgt begonnen:
Der Flächeninhalt eines Dreiecks: 1/2u*f(u)
= 1/2u²(ln(u)-2)² Dann wie folgt abgeleitet:
A´=u*(ln(u)-2)² + 1/2u²*2*(ln(u)-2)
=u*((ln(u)-2)²+(ln(u)-2)*u) | :u
u=0
=u*((ln(u)-2)²+(ln(u)-2) | : (ln(u)-2
0=ln(u)-2
2=ln(u)
u=e²
=u*(ln(u)-2)+ln(u)-2 |:u
u=0
=2*(ln(u)-2)|:2
=ln(u)-2
u=e²
--> u=0 oder u=e² Soweit so gut, soweit so falsch würd ich mal behaupten;). Randbetrachtung hatten wir bei unserem ehemaligen Mathlehrer nicht gehabt von dem her keine Ahnung.
Und die zweite und letzte Aufgabe ( ich versprechs;)
Zeigen sie:
[mm] integral_a^b{x*(ln(x)-2)² dx}=[ [/mm] 1/2x²*(ln(x))²-5/2x²*ln(x)+13/4x²]
Die Gerade mit der Gleichung x=u mit 0<u<e², die x-Achse und K schliessen eine Fläche ein. Berechnen sie ihren Inhalt.
Zeigen Sie, daß für die von der x-Achse und K eingeschlossene Fläche gilt: A=1/4e(hoch4)
Bei der Aufgabe weiss ich zwar das ich "hochableiten" muss aber nicht ganz genau was. Einfach x*(ln(x)-2)² ?
Ich hoffe mir kann geholfen werden, falls jemand die Zeit dazu findet ! Danke im vorraus für die Mühe !
ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Do 04.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Hiho, ich bins nochmal ;)
>
> Unser Mathelehrer hat uns die beiden folgenden Aufgaben bis
> nächsten MO als Hausaufgabe aufgegeben. Die Aufgaben
> beziehen sich auf die gleiche Funktion ( f(x)=x*(ln(x)-2)²)
> die ich schonmal hier gepostet hatte.
>
> 1.: Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet die x-Achse
> im Punkt P und K im Punkt Q. O Sei der Koordinatenursprung.
"im Punkt P und K im Punkt Q"? Was ist damit gemeint? Vielleicht: Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt P und die Funktion f(x) Punkt Q? Das würde für das folgende Sinn machen.
> Berechnen sie für 0 < u < e² denjenigen Wert für u, für den
> der Flächeninhalt des Dreiecks DeltaOPQ maximal wird. (
> Vergessen Sie die Randbetrachtung nicht.)
> Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt.
> Ich hab dann wie folgt begonnen:
> Der Flächeninhalt eines Dreiecks: 1/2u*f(u)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = 1/2u²(ln(u)-2)² Dann wie folgt abgeleitet:
> A´=u*(ln(u)-2)² + 1/2u²*2*(ln(u)-2)
Hier ist der Fehler. Hier hast du bei der Ableitung von [mm] $(\ln(u)-2)^2$ [/mm] die Ableitung der inneren Funktion vergessen (wie damals...) Es müßte richtig lauten:
[mm] $A'=u*(\ln(u)-2)^2 [/mm] + [mm] 1/2u^2*2*(\ln(u)-2)*\red{\bruch{1}{u}}$
[/mm]
[mm] $=u*(\ln(u)-2)^2 [/mm] + [mm] u*(\ln(u)-2)$
[/mm]
[mm] $=u*\left( (\ln(u)-2)^2 + (\ln(u)-2) \right)$
[/mm]
> =u*((ln(u)-2)²+(ln(u)-2)*u) | :u
> u=0
> =u*((ln(u)-2)²+(ln(u)-2) | : (ln(u)-2
> 0=ln(u)-2
> 2=ln(u)
> u=e²
> =u*(ln(u)-2)+ln(u)-2 |:u
> u=0
> =2*(ln(u)-2)|:2
> =ln(u)-2
> u=e²
Diese Rechnung ist mir jetzt völlig schleierhaft. Was meinst du mit "u=0" ganz am Anfang? Die logische Abfolge der Rechschritte ist mir nicht klar.
Es ist ja nach dem Maximum von $A(u)$ gefragt, deswegen ist die Ableitung gleich null zu setzen:
$A'(u)=0$
[mm] $\gdw u*\left( (\ln(u)-2)^2 + (\ln(u)-2) \right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u=0 [mm] \;\;\vee\;\;(\ln(u)-2)^2 [/mm] + [mm] (\ln(u)-2)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u=0 [mm] \;\;\vee\;\;(\ln(u)-2)(\ln(u)-2+1)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u=0 [mm] \;\;\vee\;\;\ln(u)-2=0\;\;\vee\;\;\ln(u)-2+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u=0 [mm] \;\;\vee\;\;\ln(u)=2\;\;\vee\;\;\ln(u)=1$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u=0 [mm] \;\;\vee\;\;u=e^2\;\;\vee\;\;u=e$
[/mm]
> --> u=0 oder u=e² Soweit so gut, soweit so falsch würd ich
> mal behaupten;). Randbetrachtung hatten wir bei unserem
> ehemaligen Mathlehrer nicht gehabt von dem her keine
> Ahnung.
Vergiß' an dieser Stelle nicht, die hinreichende Bedingung zu überprüfen (die mit der zweiten Ableitung).
Die Randbetrachtung ist ganz einfach.
Die Ränder sind in diesem Fall hier $u=0$ und [mm] $u=e^2$, [/mm] da die Funktion $A(u)$ auf dem Intervall [mm] $\lbrack 0,e^2 \rbrack$ [/mm] definiert ist.
Nun hast du mit der Extremwertberechnung oben nur lokale bzw. relative Extrema gefunden, also nur Extrema, die in einer gewissen Umgebung die höchsten/tiefsten Punkte sind. Das heißt ja aber nicht, dass am "Rand" des Definitionsbereichs die relativen Extrema nicht noch übertroffen werden können. Ich zeige das am besten mal an einem Beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier habe ich mal eine Funktion gezeichnet, die im Intervall [mm] $\lbrack [/mm] -3;1,5 [mm] \rbrack$ [/mm] definiert ist.
Wie du siehst, ist das relative Maximum bei $x=-2$, aber in dem Intervall gibt es noch viel größere Funktionswerte, den größten bei $x=1{,}5$. Das ist gerade am Rand. Überleg' dir mal warum der größte Funktionswert entweder eine relatives Maximum ist oder aber ein Randwert.
Zur Ermittlung des größten Funktionswertes (absolutes Maximum) vergleichst du also einfach die Funktionswerte der relativen Maxima mit den Funktionswerten an den Rändern; der größte ist das absolute Maximum. (Entsprechend bei Minima).
Um die zweite Frage kümmere ich mich gleich.
Alles Gute
Marc.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Und die zweite und letzte Aufgabe ( ich versprechs;)
Das stimmt mich traurig -- hat's dir hier nicht gefallen? Bitte stelle erst dann keine Fragen mehr hier, wenn du alles verstanden hast 
> Zeigen sie:
> [mm] integral_a^b{x*(ln(x)-2)² dx}=[ [/mm]
> 1/2x²*(ln(x))²-5/2x²*ln(x)+13/4x²]
> Die Gerade mit der Gleichung x=u mit 0<u<e², die x-Achse
> und K schliessen eine Fläche ein. Berechnen sie ihren
> Inhalt.
> Zeigen Sie, daß für die von der x-Achse und K
> eingeschlossene Fläche gilt: A=1/4e(hoch4)
> Bei der Aufgabe weiss ich zwar das ich "hochableiten" muss
> aber nicht ganz genau was. Einfach x*(ln(x)-2)² ?
Was ist denn "hochableiten"? Ich kenne noch den umgangssprachlichen Ausdruck "aufleiten" für die Stammfunktionbildung/das Integrieren, aber "hochableiten" ist auch nicht schlecht.
Theoretisch hast du recht, dass die Behauptung gezeigt ist, wenn du die Stammfunktion zu [mm] $\integral_a^b{x*(ln(x)-2)² dx}$ [/mm] findest und diese dann gleich der gegebenen [mm] $1/2x²*(\ln(x))²-5/2x²*\ln(x)+13/4x²$ [/mm] ist.
Aber das ist hier viel zu kompliziert und deswegen sicher nicht verlangt.
Man kann nämlich sehr einfach zeigen, dass eine Funktion $F(x)$ eine Stammfunktion zu einer Funktion $f(x)$ ist; es gilt dann nämlich:
$$F'(x)=f(x)$$
Hier bildest du also einfach die Ableitung $F'$ von [mm] $F(x)=1/2x²*(\ln(x))²-5/2x²*\ln(x)+13/4x²$ [/mm] und zeigst, dass $F'(x)=x*(ln(x)-2)²$ ist. Bitte sag', wenn du es geschafft hast.
> Die Gerade mit der Gleichung x=u mit 0<u<e², die x-Achse
> und K schliessen eine Fläche ein. Berechnen sie ihren
> Inhalt.
K ist wahrscheinlich der Graph von $f$, dann verstehe ich auch die Verwendung von K bei der ersten Aufgabe (ganz am Anfang).
Hier ermitteln wir zunächst den Integrationsbereich, er ist [mm] $\rbrack 0;u\rbrack$.
[/mm]
An der unteren Integrationsgrenze 0 ist die Funktion nicht definiert, wir müssen also ein uneigentliches Integral berechnen. Das ist nicht weiter schwierig, ich ersetze die untere Grenze 0 durch eine Variable $a$ mit der Forderung, dass $a>0$ ist. Gleich wirst du sehen warum, zunächst integriere ich:
[mm] $\integral_a^u {x*(\ln(x)-2)² dx}=\lbrack 1/2x²*(\ln(x))²-5/2x²*\ln(x)+13/4x² \rbrack_a^u$
[/mm]
[mm] $=1/2u²*(\ln(u))²-5/2u²*\ln(u)+13/4u²- (1/2a²*(\ln(a))²-5/2a²*\ln(a)+13/4a²)$
[/mm]
[mm] $=1/2u²*(\ln(u))²-5/2u²*\ln(u)+13/4u²+1/2a²*(\ln(a))²+5/2a²*\ln(a)-13/4a²$
[/mm]
Nun kommt die untere Grenze ins Spiel; sie sollte ja $0$ und nicht $a$ sein. Aber wir können uns mit einem Grenzprozess ansehen, welchen Wert das Integral hat, wenn die untere Grenze beliebig nah der Null ist, und zwar so nah, dass der Fehler vernachlässigbar ist.
Es gilt:
[mm] $\limes_{a\to0}1/2u²*(\ln(u))²-5/2u²*\ln(u)+13/4u²+\underbrace{1/2a²*(\ln(a))²}_{\to 0}+\underbrace{5/2a²*\ln(a)}_{\to 0}-\underbrace{13/4a²}_{\to 0}$ [/mm]
[mm] $=1/2u²*(\ln(u))²-5/2u²*\ln(u)+13/4u²$
[/mm]
Dies ist also der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.
> Zeigen Sie, daß für die von der x-Achse und K
> eingeschlossene Fläche gilt: A=1/4e(hoch4)
Der Integrationsbereich liegt zwischen $0$ und [mm] $e^2$, [/mm] da [mm] $e^2$ [/mm] die zum Ursprung "nächste" Nullstelle ist.
Zufälligerweise haben wir gerade ein Integral mit variabler oberer Grenze $u$ berechnet, da mußt du also nur noch die konkrete obere Grenze [mm] $u=e^2$ [/mm] und die Behauptung zeigen.
Poste uns doch deine Ergebnisse zur Kontrolle oder frag' bei Problemen einfach noch mal nach.
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Silence |
> Hier bildest du also einfach die Ableitung $F'$ von
> [mm] $F(x)=1/2x²*(\ln(x))²-5/2x²*\ln(x)+13/4x²$ [/mm] und zeigst, dass
> $F'(x)=x*(ln(x)-2)²$ ist. Bitte sag', wenn du es geschafft
> hast.
F´(x)=x*(ln(x))²+1/2x²*2*(ln(x))*1/x -5x*ln(x)+5/2x²*1/x+6,5x
=x*(ln(x))²+x*ln(x)-5x*ln(x)+5/2x+6,5x
=x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)+5/2+6,5)
=x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)+9)
=x*(ln(x)²-4ln(x)+9)
=x*(ln(x)²-2(2ln(x)-4,5))
mhh will nicht so recht aufgehen ;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
[mm] $F(x)=1/2x²*(\ln(x))²-5/2x²*\ln(x)+13/4x²$
[/mm]
> F´(x)=x*(ln(x))²+1/2x²*2*(ln(x))*1/x -5x*ln(x)+5/2x²*1/x+6,5x
Hier müßte es lauten:
F´(x)=x*(ln(x))²+1/2x²*2*(ln(x))*1/x -(5x*ln(x)+5/2x²*1/x)+6,5x
=x*(ln(x))²+1/2x²*2*(ln(x))*1/x -5x*ln(x)-5/2x²*1/x+6,5x
> =x*(ln(x))²+x*ln(x)-5x*ln(x)+5/2x+6,5x
=x*(ln(x))²+x*ln(x)-5x*ln(x)-5/2x+6,5x
> =x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)+5/2+6,5)
=x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)-5/2+6,5)
> =x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)+9)
=x*(ln(x)²+ln(x)-5ln(x)+4) ( hier hatte ich mich verrechnet: -5/2+6,5 sind natürlich 4)
> =x*(ln(x)²-4ln(x)+9)
=x*(ln(x)²-4ln(x)+4)
=x*(ln(x)-2)² ( hier hatte ich auch noch irrtümlich ln(x)² geschrieben )
> mhh will nicht so recht aufgehen ;(
Kleiner Fehler, große Wirkung 
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Silence |
> =x*(ln(x)²-4ln(x)+1)
>
> =x*(ln(x)²-2)²
Es muss doch "x*(ln(x)-2)² rauskommen oder ?
bzw. > =(ln(x)²-4ln(x)+1) müsste doch eine binomische formel sein( oder ? :P) , deswegen kann ma daraus dann auch (ln(x)-2)² formen, bzw. müsste widerum (ln(x)-2)² aufgelöst (ln(x)²-4ln(x)+1) ergeben ;) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> > =x*(ln(x)²-4ln(x)+1)
> >
> > =x*(ln(x)²-2)²
>
> Es muss doch "x*(ln(x)-2)² rauskommen oder ?
Good point
> bzw. > =(ln(x)²-4ln(x)+1) müsste doch eine binomische
> formel sein( oder ? :P) , deswegen kann ma daraus dann auch
> (ln(x)-2)² formen, bzw. müsste widerum (ln(x)-2)² aufgelöst
> (ln(x)²-4ln(x)+1) ergeben ;) ?
Ich hatte mich natürlich verrechnet, -5/2+6,5 = -2,5+6,5 = 4, und dann klappt's auch mit der binomischen Formel (siehe die Korrekturen in meiner alten Antwort).
Sorry für die Verwirrung,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Silence |
Ne , war eigentlich grad richtig, so konnte ich nochmal kontrollieren ob ich es richtig verstanden hatte ;). Aufejdenfall danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Ne , war eigentlich grad richtig, so konnte ich nochmal
> kontrollieren ob ich es richtig verstanden hatte ;).
> Aufejdenfall danke !
Alles klar, gern geschehen.
Ggfs. bis bald mal,
Marc
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