ln(x) abschätzen mit x > 1? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Do 30.11.2017 | | Autor: | Kian |
Hallo,
ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen kann.
ln(1+x) = x - [mm] \bruch{ x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ x^{3}}{3} [/mm] - [mm] \bruch{ x^{4}}{4} [/mm] ....
Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.
Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1 berechnen kann?
Wenn ja, wie geht das?
Lg
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Hallo,
> ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen
> kann.
>
> ln(1+x) = x - [mm]\bruch{ x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{ x^{3}}{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{ x^{4}}{4}[/mm] ....
>
> Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.
>
Was nicht das eigentliche Problem ist (denn es gibt Logarithmengesetze...). Das Problem dieser Reihe ist ihre langsame Konvergenz.
> Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1
> berechnen kann?
> Wenn ja, wie geht das?
Kennst du die Areatangensfunktion (also die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus)? Man kann sie einerseits mit Hilfe der Logarithmusfunktion darstellen und andererseits in eine Potenzreihe entwickeln. Daraus kann man für den Logarithmus die folgende Reihe gewinnen, die für alle positiven x konvergiert, und damit auf dem gesamten Definitionsbereich der Logarithmusfunktion:
[mm]ln(x)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1}*\left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} [/mm]
Diese Reihe zeigt wohl vor allem in der Nähe von x=1 ein besseres Konvergenzverhalten.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 30.11.2017 | | Autor: | Kian |
Hi,
danke für deine Antwort.
Ich bin grade dabei die Taylorreihe zu programmieren.
Für Werte von 0-1 klappt es. Wenn ich für x dann ein Wert >1 eingebe, werden falsche Werte berechnet. Gibt es keine Möglichkeit x umzurechnen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Do 30.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich weiss das man ln(1+x) mit folgender Reihe abschätzen
> kann.
>
> ln(1+x) = x - [mm]\bruch{ x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{ x^{3}}{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{ x^{4}}{4}[/mm] ....
>
> Das funktioniert nur für Zahlen von 0<= x <=1.
Was meinst Du mit abschätzen ???
Betrachten wir die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$.
[/mm]
Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius 1, sie divergiert in x=-1 und konvergiert in x=1.
Weiter ist
$ [mm] \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] (-1,1).$
Der Abelsche Grenzwertsatz zeigt, dass das auch noch für $x=1$ gilt, also
$ [mm] \ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
[/mm]
Mit "Abschätzen" hat das also nix zu tun.
>
> Meine Frage ist, ob man die Teilorreihe auch für Werte x>1
> berechnen kann?
Ganz klar: nein! Denn die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n$ [/mm] divergiert für x>1.
> Wenn ja, wie geht das?
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 30.11.2017 | | Autor: | Kian |
Sehe ich genauso!
Ich habe ln(1+x) programmiert für x>=0 und x<=1.
Aber laut Aufgabe, sollen auch Werte >1 berechnet werden können mit der Taylorreihe, durch eine einfache Umformung.
Siehe Aufgabenstellung:
https://ibb.co/cUJ8vG
Man soll y berechnen. Wenn ich das mache, werden trotzdem falsche Werte berechnet... :/
Lg
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Hallo,
> Ich habe ln(1+x) programmiert für x>=0 und x<=1.
>
> Aber laut Aufgabe, sollen auch Werte >1 berechnet werden
> können mit der Taylorreihe, durch eine einfache
> Umformung.
Da
[mm] ln\left(\frac{1}{x}\right)=-ln(x)
[/mm]
gilt, rechnest du einfach für x>1 den Logarithmus von 1/(1+x) aus und kehrst das Vorzeichen um.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 30.11.2017 | | Autor: | Kian |
Perfekt, das hat mir geholfen.
Vielen dank! :D
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